Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versão 10

IDZ - 6.2. Solução de problemas.

Nº 1.10. A equação xy = cot x é dada. É necessário encontrar o valor da derivada y' e da segunda derivada y".

Responder:

Vamos encontrar a derivada da função y em relação a x usando a regra da derivada do produto:

y' = (xy)' = x'y + y'x = y + xy'

Substitua y na equação xy = cot x:

xy = ctg x

y = ctg x / x

Então:

y' = (ctg x / x) + x(-ctg^2 x / (sin^2 x)) = (ctg x / x) - ctg^2 x / sen^2 x

Para encontrar a segunda derivada de y" diferenciamos a expressão resultante para y':

y" = (-ctg^2 x / sen^2 x)' = -2ctg x / (sen^2 x * cos x)

Exemplo: y' = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x, y" = -2ctg x / (sin^2 x * cos x).

Nº 2.10. A equação da curva paramétrica é dada: x = L(t) / t, y = t ln t. É necessário encontrar o valor da derivada y' e da segunda derivada y".

Responder:

Vamos diferenciar a equação x = L(t) / t em relação a t:

x' = (L(t) / t)' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2

Substitua L(t) por tx na equação para x:

x = eu(t) / t = tx / t = x

Então:

x' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2 = (L'(t) - x) / t

Vamos diferenciar a equação y = t ln t em relação a t:

y' = ln t + 1

Agora vamos encontrar o valor da derivada y':

y' = (dy/dt) / (dx/dt) = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t)

Para encontrar a segunda derivada de y" diferenciamos a expressão resultante para y':

y" = [(d/dt)((ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t))] / ((dx/dt) / t)

y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2)

Exemplo: y' = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t), y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2).

Nº 3.10. Dada a equação da função y = x^2 e^x e o argumento x0 = 0. É necessário calcular o valor da terceira derivada y‴(x0).

Responder:

Vamos encontrar a primeira, segunda e terceira derivadas da função y em relação a x:

y' = 2x e ^ x + x ^ 2 e ^ x

y" = 2e^x + 4x e^x + x^2 e^x

y‴ = 6e^x + 12x e^x + 2x^2 e^x

Vamos substituir o valor x0 = 0 nas expressões resultantes:

você'(0) = 0

y"(0) = 2

y‴(0) = 6

Resposta: y‴(0) = 6.

Nº 4.10. A equação para a função y = x e^(3x) é dada. É necessário escrever a fórmula da derivada de enésima ordem.

Responder:

Vamos diferenciar a função y por x n vezes:

y^(n) = (x e^(3x))^(n)

Usando a regra da derivada do produto, obtemos:

y^(n) = (x^(n) e^(3x)) + n(x^(n-1) e^(3x) * 3) + n(n-1)(x^(n-2 ) e^(3x) * 3^2) + ... + 3^n(x e^(3x))

Assim, a fórmula para a derivada de enésima ordem da função y = x e^(3x) tem a forma:

y^(n) = e^(3x) * P_n(x),

onde P_n(x) é um polinômio de enésimo grau, expresso em termos de derivadas de x^n.

Nº 5.10. Dada a equação da curva y = x^2/4 - 4x + 5 e um ponto com a abcissa x = 4. É necessário escrever a equação da tangente a esta curva em um determinado ponto.

Responder:

Vamos encontrar o valor da derivada da função y em relação a x:

você' = x/2 - 4

Valor derivado no ponto x = 4:

você'(4) = 2 - 4 = -2

Assim, a equação da tangente à curva y = x^2/4 - 4x + 5 no ponto com a abcissa x = 4 é:

y - (16/4 - 16 + 5) = -2(x - 4),

ou

y = -2x + 13.

Nº 6.10. A lei do movimento de um ponto material é dada: S = -3 cos(t/4+π/12). É necessário encontrar a velocidade deste ponto no instante t = 2π/3c.

Responder:

Vamos encontrar a derivada da lei do movimento S em relação ao tempo t:

v = dS/dt = (d/dt)(-3cos(t/4 + π/12)) = 3/4 sen(t/4 + π/12)

Vamos substituir o valor t = 2π/3c:

v = 3/4 sen(π/6 + π/12) = 3/4 sen(π/4) = 3/8√2 м/с.

Resposta: a velocidade de um ponto material no tempo t = 2π/3c é igual a 3/8√2 m/s.

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No primeiro problema (nº 1.10) é necessário encontrar o valor da derivada y' e da segunda derivada y" para a equação xy = cot x.

No segundo problema (nº 2.10) é necessário encontrar o valor da derivada y' e da segunda derivada y" para a curva paramétrica x = L(t) / t, y = t ln t.

No terceiro problema (nº 3.10) é necessário calcular o valor da terceira derivada y‴(x0) para a função y = x^2 e^x e o argumento x0 = 0.

No quarto problema (nº 4.10), é necessário escrever a fórmula da derivada de enésima ordem da função y = x e^(3x).

No quinto problema (nº 5.10) é necessário escrever a equação da tangente à curva y = x^2/4 - 4x + 5 no ponto com a abcissa x = 4.

No sexto problema (Nº 6.10) é necessário encontrar a velocidade de um ponto material que se move de acordo com a lei S = -3 cos(t/4+π/12) no tempo t = 2π/3s.

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Ryabushko A.P. IDZ 6.2 opção 10 é uma tarefa ou teste educacional como parte de um curso relacionado à análise matemática e equações diferenciais. A tarefa apresenta seis problemas, cada um dos quais requer a resolução de um problema matemático específico.

O primeiro problema é encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem para a função dada pela equação xy = cot x.

No segundo problema, você precisa encontrar a equação de uma curva definida parametricamente: x = L(t)/t e y = t Ln t.

A terceira tarefa envolve o cálculo da terceira derivada para a função y = x²eˣ no ponto x0 = 0.

O quarto problema requer escrever uma fórmula para a derivada de enésima ordem da função y = x e³ˣ.

No quinto problema, você precisa escrever a equação da tangente à curva y = x²/4 – 4x + 5 no ponto com a abcissa x = 4.

A sexta tarefa está relacionada ao cálculo da velocidade de um ponto material de acordo com uma determinada lei de movimento S = -3 cos(t/4+π/12) no tempo t= 2π/3 s.

Este produto é destinado a estudantes e qualquer pessoa interessada em análise matemática e equações diferenciais.

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