Ryabushko A.P. IDZ 6.2 버전 10

IDZ-6.2. 문제 해결.

1.10호. 방정식 xy = cot x가 제공됩니다. 도함수 y'와 이차 도함수 y"의 값을 구해야 합니다.

답변:

곱셈 도함수 규칙을 사용하여 x에 대한 함수 y의 도함수를 찾아보겠습니다.

y' = (xy)' = x'y + y'x = y + xy'

방정식 xy = cot x에서 y를 바꾸십시오.

xy = CTG x

y = CTG x / x

그 다음에:

y' = (ctg x / x) + x(-ctg^2 x / (sin^2 x)) = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x

Y"의 2차 도함수를 찾기 위해 y'에 대한 결과 표현식을 미분합니다.

y" = (-ctg^2 x / sin^2 x)' = -2ctg x / (sin^2 x * cos x)

답변: y' = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x, y" = -2ctg x / (sin^2 x * cos x).

2.10. 매개변수 곡선의 방정식은 다음과 같습니다. x = L(t) / t, y = t ln t. 도함수 y'와 이차 도함수 y"의 값을 구해야 합니다.

답변:

T에 대해 방정식 x = L(t) / t를 미분해 보겠습니다.

x' = (L(t) / t)' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2

X에 대한 방정식에서 L(t)를 tx로 대체합니다.

x = L(t) / t = tx / t = x

그 다음에:

x' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2 = (L'(t) - x) / t

T에 대해 방정식 y = t ln t를 미분해 보겠습니다.

y' = lnt + 1

이제 도함수 y'의 값을 찾아보겠습니다.

y' = (dy/dt) / (dx/dt) = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t)

Y"의 2차 도함수를 찾기 위해 y'에 대한 결과 표현식을 미분합니다.

y" = [(d/dt)((ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t))] / ((dx/dt) / t)

y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2)

답: y' = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t), y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2).

번호 3.10. 함수 y = x^2 e^x의 방정식과 인수 x0 = 0이 주어지면 3차 도함수 y‴(x0)의 값을 계산해야 합니다.

답변:

X에 대한 함수 y의 1차, 2차, 3차 도함수를 찾아보겠습니다.

y' = 2x e^x + x^2 e^x

y" = 2e^x + 4x e^x + x^2 e^x

y‴ = 6e^x + 12x e^x + 2x^2 e^x

결과 표현식에 x0 = 0 값을 대체해 보겠습니다.

y'(0) = 0

y"(0) = 2

y‴(0) = 6

답: y‴(0) = 6.

4.10. 함수 y = x e^(3x)의 방정식이 제공됩니다. n차 도함수의 공식을 적어야 합니다.

답변:

함수 y를 xn번 미분해 보겠습니다.

y^(n) = (x e^(3x))^(n)

곱 파생 규칙을 사용하면 다음을 얻습니다.

y^(n) = (x^(n) e^(3x)) + n(x^(n-1) e^(3x) * 3) + n(n-1)(x^(n-2) ) e^(3x) * 3^2) + ... + 3^n(x e^(3x))

따라서 함수 y = x e^(3x)의 n차 도함수 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

y^(n) = e^(3x) * P_n(x),

여기서 P_n(x)는 x^n의 도함수로 표현되는 n차 다항식입니다.

번호 5.10. 곡선 y = x^2/4 - 4x + 5의 방정식과 가로좌표 x = 4인 점이 주어지면 주어진 점에서 이 곡선에 대한 접선의 방정식을 적어야 합니다.

답변:

X에 대한 함수 y의 도함수 값을 찾아보겠습니다.

y' = x/2 - 4

X = 4 지점의 미분 값:

y'(4) = 2 - 4 = -2

따라서 가로좌표 x = 4인 점에서 곡선 y = x^2/4 - 4x + 5에 대한 접선 방정식은 다음과 같습니다.

y - (16/4 - 16 + 5) = -2(x - 4),

또는

y = -2x + 13.

번호 6.10. 물질점의 운동 법칙은 다음과 같습니다: S = -3 cos(t/4+π/12). 시간 t = 2π/3c에서 이 지점의 속도를 찾는 것이 필요합니다.

답변:

시간 t에 대한 운동 법칙 S의 미분을 구해 보겠습니다.

v = dS/dt = (d/dt)(-3cos(t/4 + π/12)) = 3/4 sin(t/4 + π/12)

T = 2π/3c 값을 대체해 보겠습니다.

v = 3/4 죄(π/6 + π/12) = 3/4 죄(π/4) = 3/8√2 м/с.

답: 시간 t = 2π/3c에서 물질 점의 속도는 3/8√2 m/s와 같습니다.

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첫 번째 문제(1.10번)에서는 방정식 xy = cot x에 대한 도함수 y'와 두 번째 도함수 y"의 값을 구해야 합니다.

두 번째 문제(2.10번)에서는 매개변수 곡선 x = L(t) / t, y = t ln t에 대한 도함수 y'와 2차 도함수 y"의 값을 구해야 합니다.

세 번째 문제(3.10번)에서는 함수 y = x^2 e^x와 인수 x0 = 0에 대한 3차 도함수 y‴(x0)의 값을 계산해야 합니다.

네 번째 문제(4.10번)에서는 함수 y = x e^(3x)의 n차 도함수 공식을 적어야 합니다.

다섯 번째 문제(5.10번)에서는 가로축 x = 4인 점에서 곡선 y = x^2/4 - 4x + 5에 대한 접선 방정식을 적어야 합니다.

여섯 번째 문제(6.10번)에서는 시간 t = 2π/3s에서 S = -3 cos(t/4+π/12) 법칙에 따라 움직이는 물질 점의 속도를 구해야 합니다.

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Ryabushko A.P. IDZ 6.2 옵션 10은 수학적 분석 및 미분 방정식과 관련된 과정의 일부인 교육 과제 또는 테스트입니다. 이 과제는 6개의 문제를 제시하며 각 문제는 특정 수학적 문제를 해결해야 합니다.

첫 번째 문제는 방정식 xy = cot x로 주어진 함수에 대한 1차 및 2차 도함수를 찾는 것입니다.

두 번째 문제에서는 매개변수적으로 정의된 곡선의 방정식(x = L(t)/t 및 y = t Ln t)을 찾아야 합니다.

세 번째 작업에는 x0 = 0 지점에서 y = x²eˣ 함수의 3차 도함수를 계산하는 작업이 포함됩니다.

네 번째 문제에서는 함수 y = x e³ˣ의 n차 도함수에 대한 공식을 작성해야 합니다.

다섯 번째 문제에서는 가로축이 x = 4인 점에서 곡선 y = x²/4 – 4x + 5에 대한 접선 방정식을 적어야 합니다.

여섯 번째 작업은 주어진 운동 법칙 S = -3 cos(t/4+π/12)에 따라 시간 t= 2π/3 s에서 물질 점의 속도를 계산하는 것과 관련됩니다.

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저자 Ryabushko A.P.에게 감사드립니다. 고품질의 유용한 제품 - IDZ 6.2 옵션 10.

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