Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versione 10

IDZ-6.2. Risoluzione dei problemi.

N. 1.10. Viene data l'equazione xy = lettino x. È necessario trovare il valore della derivata y' e della derivata seconda y".

Risposta:

Troviamo la derivata della funzione y rispetto a x utilizzando la regola della derivata del prodotto:

y' = (xy)' = x'y + y'x = y + xy'

Sostituisci y nell'equazione xy = lettino x:

xy = ctg x

y = ctg x / x

Poi:

y' = (ctg x / x) + x(-ctg^2 x / (peccato^2 x)) = (ctg x / x) - ctg^2 x / peccato^2 x

Per trovare la derivata seconda di y" differenziamo l'espressione risultante per y':

y" = (-ctg^2 x / sin^2 x)' = -2ctg x / (sen^2 x * cos x)

Risultato: y' = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x, y" = -2ctg x / (sin^2 x * cos x).

N. 2.10. L'equazione della curva parametrica è data: x = L(t) / t, y = t ln t. È necessario trovare il valore della derivata y' e della derivata seconda y".

Risposta:

Differenziamo l'equazione x = L(t) / t rispetto a t:

x' = (L(t) / t)' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2

Sostituisci L(t) con tx nell'equazione per x:

x = L(t) / t = tx / t = x

Poi:

x' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2 = (L'(t) - x) / t

Differenziamo l'equazione y = t ln t rispetto a t:

y' = ln t + 1

Ora troviamo il valore della derivata y':

y' = (dy/dt) / (dx/dt) = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t)

Per trovare la derivata seconda di y" differenziamo l'espressione risultante per y':

y" = [(d/dt)((ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t))] / ((dx/dt) / t)

y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2)

Risultato: y' = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t), y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2).

N. 3.10. Data l'equazione della funzione y = x^2 e^x e l'argomento x0 = 0. È necessario calcolare il valore della derivata terza y‴(x0).

Risposta:

Troviamo la derivata prima, seconda e terza della funzione y rispetto a x:

y' = 2x e^x + x^2 e^x

y" = 2e^x + 4x e^x + x^2 e^x

y‴ = 6e^x + 12x e^x + 2x^2 e^x

Sostituiamo il valore x0 = 0 nelle espressioni risultanti:

y'(0) = 0

y"(0) = 2

y‴(0) = 6

Risposta: y‴(0) = 6.

N. 4.10. Viene fornita l'equazione per la funzione y = x e^(3x). È necessario scrivere la formula per la derivata dell'ordine ennesimo.

Risposta:

Differenziamo la funzione y per x n volte:

y^(n) = (x e^(3x))^(n)

Usando la regola della derivata del prodotto, otteniamo:

y^(n) = (x^(n) e^(3x)) + n(x^(n-1) e^(3x) * 3) + n(n-1)(x^(n-2 ) e^(3x) * 3^2) + ... + 3^n(x e^(3x))

Pertanto, la formula per la derivata dell'ordine ennesimo della funzione y = x e^(3x) ha la forma:

y^(n) = e^(3x) * P_n(x),

dove P_n(x) è un polinomio di grado ennesimo, espresso in termini di derivate di x^n.

N. 5.10. Data l'equazione della curva y = x^2/4 - 4x + 5 e un punto con l'ascissa x = 4. È necessario scrivere l'equazione della tangente a questa curva in un dato punto.

Risposta:

Troviamo il valore della derivata della funzione y rispetto a x:

y' = x/2 - 4

Valore derivativo nel punto x = 4:

y'(4) = 2 - 4 = -2

Pertanto, l'equazione della tangente alla curva y = x^2/4 - 4x + 5 nel punto con ascissa x = 4 è:

y - (16/4 - 16 + 5) = -2(x - 4),

O

y = -2x + 13.

N. 6.10. La legge del moto di un punto materiale è data: S = -3 cos(t/4+π/12). È necessario trovare la velocità di questo punto al tempo t = 2π/3c.

Risposta:

Troviamo la derivata della legge del moto S rispetto al tempo t:

v = dS/dt = (d/dt)(-3cos(t/4 + π/12)) = 3/4 sin(t/4 + π/12)

Sostituiamo il valore t = 2π/3c:

v = 3/4 sin(π/6 + π/12) = 3/4 sin(π/4) = 3/8√2 м/с.

Risposta: la velocità di un punto materiale al tempo t = 2π/3c è pari a 3/8√2 m/s.

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Nel primo problema (n. 1.10) è necessario trovare il valore della derivata y' e della derivata seconda y" per l'equazione xy = cot x.

Nel secondo problema (n. 2.10) è necessario trovare il valore della derivata y' e della derivata seconda y" per la curva parametrica x = L(t) / t, y = t ln t.

Nel terzo problema (n. 3.10) è necessario calcolare il valore della derivata terza y‴(x0) per la funzione y = x^2 e^x e l'argomento x0 = 0.

Nel quarto problema (n. 4.10), è necessario scrivere la formula per la derivata di ordine ennesimo della funzione y = x e^(3x).

Nel quinto problema (n. 5.10), è necessario scrivere l'equazione della tangente alla curva y = x^2/4 - 4x + 5 nel punto con l'ascissa x = 4.

Nel sesto problema (N. 6.10) è necessario trovare la velocità di un punto materiale che si muove secondo la legge S = -3 cos(t/4+π/12) al tempo t = 2π/3s.

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Ryabushko A.P. IDZ 6.2 opzione 10 è un compito didattico o un test come parte di un corso relativo all'analisi matematica e alle equazioni differenziali. Il compito presenta sei problemi, ognuno dei quali richiede la risoluzione di uno specifico problema matematico.

Il primo problema è trovare le derivate del primo e del secondo ordine per la funzione data dall'equazione xy = cot x.

Nel secondo problema, devi trovare l'equazione di una curva definita parametricamente: x = L(t)/t e y = t Ln t.

Il terzo compito consiste nel calcolare la derivata terza della funzione y = x²eˣ nel punto x0 = 0.

Il quarto problema richiede di scrivere una formula per la derivata dell'ordine ennesimo della funzione y = x e³ˣ.

Nel quinto problema, devi scrivere l’equazione della tangente alla curva y = x²/4 – 4x + 5 nel punto con l’ascissa x = 4.

Il sesto compito riguarda il calcolo della velocità di un punto materiale secondo la legge del moto data S = -3 cos(t/4+π/12) al tempo t= 2π/3 s.

Questo prodotto è destinato agli studenti e a chiunque sia interessato all'analisi matematica e alle equazioni differenziali.

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IDZ 6.2 versione 10 è ben strutturato e facile da leggere, il che lo rende comodo e piacevole da usare.

La risoluzione dei problemi dall'opzione 10 di IDZ 6.2 mi ha aiutato a comprendere meglio il materiale ea prepararmi per l'esame.

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