Ryabushko A.P. IDZ6.2 version 10

IDZ-6.2. Résolution de problème.

N° 1.10. L'équation xy = cot x est donnée. Il faut trouver la valeur de la dérivée y' et de la dérivée seconde y".

Répondre:

Trouvons la dérivée de la fonction y par rapport à x en utilisant la règle de dérivée du produit :

y' = (xy)' = x'y + y'x = y + xy'

Remplacez y dans l'équation xy = cot x :

xy = ctg x

y = ctg x / x

Alors:

y' = (ctg x / x) + x(-ctg^2 x / (sin^2 x)) = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x

Pour trouver la dérivée seconde y", nous différencions l'expression résultante pour y' :

y" = (-ctg^2 x / sin^2 x)' = -2ctg x / (sin^2 x * cos x)

Réponse : y' = (ctg x / x) - ctg^2 x / sin^2 x, y" = -2ctg x / (sin^2 x * cos x).

N° 2.10. L'équation de la courbe paramétrique est donnée : x = L(t) / t, y = t ln t. Il faut trouver la valeur de la dérivée y' et de la dérivée seconde y".

Répondre:

Dérivons l'équation x = L(t) / t par rapport à t :

x' = (L(t) / t)' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2

Remplacez L(t) par tx dans l'équation de x :

x = L(t) / t = tx / t = x

Alors:

x' = (L'(t) * t - L(t)) / t^2 = (L'(t) - x) / t

Dérivons l'équation y = t ln t par rapport à t :

y' = ln t + 1

Trouvons maintenant la valeur de la dérivée y' :

y' = (dy/dt) / (dx/dt) = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t)

Pour trouver la dérivée seconde y", nous différencions l'expression résultante pour y' :

y" = [(d/dt)((ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t))] / ((dx/dt) / t)

y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2)

Réponse : y' = (ln t + 1) / ((L'(t) - x) / t), y" = (t(ln t + 2) - (L'(t) - x)(ln t + 1)) / ((L'(t) - x)^2).

N° 3.10. Étant donné l'équation de la fonction y = x^2 e^x et l'argument x0 = 0. Il faut calculer la valeur de la dérivée troisième y‴(x0).

Répondre:

Trouvons les dérivées première, deuxième et troisième de la fonction y par rapport à x :

y' = 2x e^x + x^2 e^x

y" = 2e^x + 4x e^x + x^2 e^x

y‴ = 6e^x + 12x e^x + 2x^2 e^x

Remplaçons la valeur x0 = 0 dans les expressions résultantes :

y'(0) = 0

y"(0) = 2

y‴(0) = 6

Réponse : y‴(0) = 6.

N° 4.10. L'équation de la fonction y = x e^(3x) est donnée. Il est nécessaire d'écrire la formule de la dérivée du nième ordre.

Répondre:

Différencions la fonction y de x n fois :

y^(n) = (x e^(3x))^(n)

En utilisant la règle de dérivée du produit, on obtient :

y^(n) = (x^(n) e^(3x)) + n(x^(n-1) e^(3x) * 3) + n(n-1)(x^(n-2 ) e^(3x) * 3^2) + ... + 3^n(x e^(3x))

Ainsi, la formule de la dérivée d'ordre n de la fonction y = x e^(3x) a la forme :

y^(n) = e^(3x) * P_n(x),

où P_n(x) est un polynôme du nième degré, exprimé en termes de dérivées de x^n.

N° 5.10. Étant donné l'équation de la courbe y = x^2/4 - 4x + 5 et un point d'abscisse x = 4. Il faut noter l'équation de la tangente à cette courbe en un point donné.

Répondre:

Trouvons la valeur de la dérivée de la fonction y par rapport à x :

y' = x/2 - 4

Valeur dérivée au point x = 4 :

y'(4) = 2 - 4 = -2

Ainsi, l'équation de la tangente à la courbe y = x^2/4 - 4x + 5 au point d'abscisse x = 4 est :

y - (16/4 - 16 + 5) = -2(x - 4),

ou

y = -2x + 13.

N° 6.10. La loi du mouvement d'un point matériel est donnée : S = -3 cos(t/4+π/12). Il faut trouver la vitesse de ce point au temps t = 2π/3c.

Répondre:

Trouvons la dérivée de la loi du mouvement S par rapport au temps t :

v = dS/dt = (d/dt)(-3cos(t/4 + π/12)) = 3/4 sin(t/4 + π/12)

Remplaçons la valeur t = 2π/3c :

v = 3/4 péché(π/6 + π/12) = 3/4 péché(π/4) = 3/8√2 м/с.

Réponse : la vitesse d'un point matériel au temps t = 2π/3c est égale à 3/8√2 m/s.

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Ce produit numérique est une solution aux problèmes de l'IPD 6.2 version 10, compilé par l'auteur Ryabushko A.P. Le produit comprend des solutions aux problèmes avec des explications détaillées étape par étape et les formules nécessaires pour les résoudre.

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Dans le premier problème (n° 1.10) il faut trouver la valeur de la dérivée y' et de la dérivée seconde y" pour l'équation xy = cot x.

Dans le deuxième problème (n° 2.10) il faut trouver la valeur de la dérivée y' et de la dérivée seconde y" pour la courbe paramétrique x = L(t) / t, y = t ln t.

Dans le troisième problème (n° 3.10) il faut calculer la valeur de la dérivée troisième y‴(x0) pour la fonction y = x^2 e^x et l'argument x0 = 0.

Dans le quatrième problème (n° 4.10), il est nécessaire d'écrire la formule de la dérivée d'ordre n de la fonction y = x e^(3x).

Dans le cinquième problème (n° 5.10) il faut écrire l'équation de la tangente à la courbe y = x^2/4 - 4x + 5 au point d'abscisse x = 4.

Dans le sixième problème (n° 6.10) il faut trouver la vitesse d'un point matériel se déplaçant selon la loi S = -3 cos(t/4+π/12) au temps t = 2π/3s.

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Ryabushko A.P. IDZ 6.2 option 10 est une tâche pédagogique ou un test faisant partie d'un cours lié à l'analyse mathématique et aux équations différentielles. Le devoir présente six problèmes, chacun nécessitant la résolution d'un problème mathématique spécifique.

Le premier problème est de trouver les dérivées du premier et du second ordre pour la fonction donnée par l'équation xy = cot x.

Dans le deuxième problème, il faut trouver l'équation d'une courbe définie paramétriquement : x = L(t)/t et y = t Ln t.

La troisième tâche consiste à calculer la dérivée troisième de la fonction y = x²eˣ au point x0 = 0.

Le quatrième problème nécessite d'écrire une formule pour la dérivée d'ordre n de la fonction y = x e³ˣ.

Dans le cinquième problème, vous devez écrire l'équation de la tangente à la courbe y = x²/4 – 4x + 5 au point d'abscisse x = 4.

Le sixième problème est lié au calcul de la vitesse d'un point matériel selon la loi du mouvement donnée S = -3 cos(t/4+π/12) au temps t= 2π/3 s.

Ce produit est destiné aux étudiants et à toute personne intéressée par l'analyse mathématique et les équations différentielles.

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Ryabushko A.P. IDZ 6.2 Option 10 est un excellent produit numérique pour les étudiants qui se préparent aux examens.

Je suis reconnaissant à l'auteur Ryabushko A.P. pour un produit de haute qualité et utile - IDZ 6.2 option 10.

IDZ 6.2 version 10 est bien structuré et facile à lire, ce qui le rend pratique et agréable à utiliser.

La résolution des problèmes de l'IDZ 6.2 option 10 m'a aidé à mieux comprendre le matériel et à me préparer à l'examen.

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