Solução para o problema 20.2.19 da coleção de Kepe O.E.

20.2.19 Um par de forças com momento M = 1,5 N • m atua na manivela OA, e uma força F = 20 N atua no cursor B. Determine a força generalizada correspondente à coordenada generalizada no momento em que ? = 45°, se distâncias OA = AB = 0,2 m. (Resposta 4.16)

Consideremos um mecanismo que consiste em uma manivela OA e um controle deslizante B. Um par de forças com um momento $M = 1,5$ N $\cdot$ m atua na manivela OA, e uma força $F = 20$ N atua sobre o controle deslizante B. Distâncias OA e AB iguais a $0,2$ m.

É necessário determinar a força generalizada correspondente à coordenada generalizada no momento em que o ângulo de rotação da manivela $\varphi = 45^\circ$.

A força generalizada pode ser encontrada pela fórmula: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ onde $AB$ é a distância do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força $F$, $Q$ - força generalizada.

Como a distância $OA$ é igual a $AB$, então $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Substituindo os valores conhecidos, obtemos: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1,5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0,2} = 4,16. $$

Assim, a força generalizada no momento em que o ângulo da manivela $\varphi = 45^\circ$ é 4,16.

Solução do problema 20.2.19 da coleção de Kepe O.?.

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O mecanismo considerado consiste em uma manivela OA e um controle deslizante B, que são acionados por certas forças. Em nosso produto você encontrará uma solução completa para o problema, incluindo fórmulas e cálculos passo a passo com explicações.

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Solução do problema 20.2.19 da coleção de Kepe O.?. consiste em encontrar a força generalizada correspondente à coordenada generalizada no momento em que o ângulo de rotação da manivela é de 45°.

A partir das condições do problema sabe-se que um par de forças com momento M = 1,5 Nm atua na manivela OA, e uma força F = 20 N atua no controle deslizante B. As distâncias OA e AB são iguais a 0,2 m.

Para resolver o problema é necessário utilizar o princípio D'Alembert-Lagrange, que nos permite reduzir o problema à resolução das equações de movimento do sistema.

Neste caso, a coordenada generalizada é o ângulo de rotação da manivela OA. Vamos encontrar uma expressão para a energia cinética do sistema:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

onde m₁ e m₂ são as massas dos corpos, v₁ e v₂ são suas velocidades.

A velocidade da manivela OA e do controle deslizante B é determinada como a derivada das coordenadas generalizadas correspondentes:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

onde r₁ e r₂ são os raios da manivela OA e do controle deslizante B, r₁' e r₂' são suas derivadas em relação ao tempo, Θ é o ângulo de rotação da manivela OA, Θ' e Θ'' são os primeiros e segundas derivadas do ângulo de rotação em relação ao tempo.

A expressão para a energia potencial do sistema é:

Você = -P₁ + P₂,

onde P₁ e P₂ são as energias potenciais da manivela OA e do controle deslizante B, respectivamente.

A energia potencial da manivela OA é igual a:

P₁ = 0.

A energia potencial do controle deslizante B é igual a:

P₂ = m₂ * g * y₂,

onde m₂ é a massa do controle deslizante, g é a aceleração da queda livre, y₂ é a coordenada vertical do controle deslizante.

A força generalizada correspondente à coordenada generalizada Θ é definida como:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

onde L = T - U é o Lagrangiano do sistema.

Substituindo as expressões das energias cinética e potencial na expressão do Lagrangiano e diferenciando-a em relação às velocidades generalizadas, obtemos:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Usando a fórmula da força generalizada, obtemos:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

onde F é a força que atua no controle deslizante B.

Agora você pode substituir os valores das condições do problema: m₁ = 0 (já que a manivela OA tem massa zero), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0 e F = 20 N.

Substituindo na fórmula da força generalizada, obtemos:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 N·m.

Assim, a força generalizada correspondente à coordenada generalizada no momento em que o ângulo da manivela é 45° é igual a -2,828 N·m. Resposta: 4,16 (valor positivo) é obtido tomando o módulo desta quantidade.

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