IDZ Ryabushko 3.1 Opção 7

Nº 1. Dados quatro pontos A1(5;5;4); A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1). É necessário criar equações:

a) Encontre os vetores AB1 = A1 - A2 e AC1 = A1 - A3:

AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)

Então o produto vetorial de AB1 e AC1 dará o vetor normal do plano:

n1 = AB1 x AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)

Agora vamos encontrar o coeficiente D do plano substituindo as coordenadas do ponto A1:

18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0

Para simplificar:

6x - 4y + 2z - 2 = 0

Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma: 6x - 4y + 2z - 2 = 0.

b) A equação da reta A1A2 pode ser encontrada usando a equação paramétrica da reta:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) Encontre o vetor da reta A4M, onde M é um ponto arbitrário na reta perpendicular desejada. Tomemos, por exemplo, M(0;0;0):

AM = M - A4 = (-5; -8; 1) Então o vetor desejado será igual à projeção de AM no vetor normal do plano A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)

Então a equação da reta desejada tem a forma:

x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t

d) Como a reta A3N é paralela à reta A1A2, seu vetor direção será igual a AB1:

AB1 = (4; 6; 0)

Vamos encontrar a equação da reta A3N usando a equação paramétrica:

x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1

e) A equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 também pode ser encontrada como a equação do plano A1A2A3, usando um vetor normal igual à projeção do vetor A4A1 no plano descrito pela reta A1A2:

AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)

proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)

Então o vetor normal do plano desejado será igual a:

n2 = proj_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)

Agora vamos encontrar o coeficiente D do plano substituindo as coordenadas do ponto A4:

(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0

Para simplificar:

-27x + 18y + 24z - 64 = 0

Assim, a equação do plano desejado tem a forma: -27x + 18y + 24z - 64 = 0.

f) Encontre o vetor direção da reta A1A4:

AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)

Então o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 é igual à projeção do vetor AA4 no vetor normal do plano, dividido pelo módulo do vetor AA4:

sin(ângulo) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / sqrt(0^2 + 3^2 + (-5)^2) / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -29/11

Resposta: sin(ângulo) = -11/29.

g) Encontre o vetor normal do plano A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8)

Então o cosseno do ângulo entre o plano A1A2A3 e o plano coordenado Oxy é igual à projeção do vetor normal do plano no eixo Ox, dividido pelo módulo do vetor normal:

cos(ângulo) = |proj_n1_Ox| / |n1| = |18| /sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7

Resposta: cos(ângulo) = 3/7.

Nº 2. É necessário criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A(3;4;0) e uma reta definida por equações paramétricas:

x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t

Vamos encontrar o vetor diretor da reta:

v = (1; -2; 3)

Então o vetor normal do plano será perpendicular ao vetor v e você pode encontrá-lo tomando o produto vetorial com um vetor arbitrário, por exemplo, com o vetor (1; 0; 0):

n = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)

Agora vamos encontrar o coeficiente D do plano substituindo as coordenadas do ponto A:

-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0

Para simplificar:

-2x - 3y - 2z + 18 = 0

Assim, a equação do plano desejado tem a forma: -2x - 3y - 2z + 18 = 0.

N ° 3. É necessário encontrar o ponto de intersecção da reta dada pelas equações paramétricas:

x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t

e planos 2x + 3y + z - 1 = 0.

Observe que as coordenadas do ponto de intersecção devem satisfazer a equação do plano

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