Rozwiązanie zadania 20.2.19 z kolekcji Kepe O.E.

20.2.19 Na korbę OA działa para sił o momencie M = 1,5 N • m, a na suwak B działa siła F = 20 N. Wyznaczyć uogólnioną siłę odpowiadającą uogólnionej współrzędnej w chwili, gdy ? = 45°, jeżeli odległości OA = AB = 0,2 m. (Odpowiedź 4.16)

Rozważmy mechanizm składający się z korby OA i suwaka B. Na korbę OA działa para sił o momencie $M = 1,5$ N $\cdot$ m, a na korbę OA działa siła $F = 20$ N suwak B. Odległości OA i AB równe 0,2$ m.

Należy wyznaczyć uogólnioną siłę odpowiadającą uogólnionej współrzędnej w chwili, gdy kąt obrotu korby $\varphi = 45^\circ$.

Uogólnioną siłę można obliczyć ze wzoru: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ gdzie $AB$ jest odległością od osi obrót do punktu przyłożenia siły $F$, $Q$ - siła uogólniona.

Ponieważ odległość $OA$ jest równa $AB$, to $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Podstawiając znane wartości otrzymujemy: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1,5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0,2} = 4,16. $$

Zatem uogólniona siła w chwili, gdy kąt obrotu wału korbowego $\varphi = 45^\circ$ wynosi 4,16.

Rozwiązanie zadania 20.2.19 ze zbioru Kepe O.?.

Przedstawiamy Państwu rozwiązanie zadania 20.2.19 ze zbioru zadań Kepe O.?. w mechanice. Ten cyfrowy produkt stanowi doskonałą pomoc dla studentów inżynierii mechanicznej i przygotowań do egzaminów.

Rozważany mechanizm składa się z korby OA i suwaka B, na które działają pewne siły. W naszym produkcie znajdziesz kompletne rozwiązanie problemu, w tym wzory i obliczenia krok po kroku z objaśnieniami.

Produkt został zaprojektowany w pięknym formacie HTML, co sprawia, że ​​materiał jest łatwy do odczytania i wykorzystania. Możesz kupić ten produkt cyfrowy w sklepie z produktami cyfrowymi i używać go do samodzielnej nauki mechaniki lub przygotowania się do egzaminów.

***

Rozwiązanie zadania 20.2.19 ze zbioru Kepe O.?. polega na znalezieniu uogólnionej siły odpowiadającej uogólnionej współrzędnej w chwili, gdy kąt obrotu korby wynosi 45°.

Z warunków problemowych wiadomo, że na korbę OA działa para sił o momencie M = 1,5 Nm, a na suwak B działa siła F = 20 N. Odległości OA i AB wynoszą 0,2 m.

Aby rozwiązać problem, należy skorzystać z zasady D'Alemberta-Lagrange'a, która pozwala sprowadzić problem do rozwiązania równań ruchu układu.

W tym przypadku uogólnioną współrzędną jest kąt obrotu korby OA. Znajdźmy wyrażenie na energię kinetyczną układu:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

gdzie m₁ i m₂ to masy ciał, v₁ i v₂ to ich prędkości.

Prędkość korby OA i suwaka B określa się jako pochodną odpowiednich współrzędnych uogólnionych:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

gdzie r₁ i r₂ to promienie korby OA i suwaka B, r₁' i r₂' to ich pochodne po czasie, Θ to kąt obrotu korby OA, Θ' i Θ'' to pierwsze i drugie pochodne kąta obrotu po czasie.

Wyrażenie na energię potencjalną układu jest następujące:

U = -P₁ + P₂,

gdzie P₁ i P₂ to energie potencjalne odpowiednio korby OA i suwaka B.

Energia potencjalna korby OA jest równa:

P₁ = 0.

Energia potencjalna suwaka B jest równa:

P₂ = m₂ * g * y₂,

gdzie m₂ to masa suwaka, g to przyspieszenie swobodnego spadania, y₂ to pionowa współrzędna suwaka.

Uogólnioną siłę odpowiadającą uogólnionej współrzędnej Θ definiuje się jako:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

gdzie L = T - U jest Lagrangianem układu.

Podstawiając wyrażenia na energię kinetyczną i potencjalną do wyrażenia Lagrangianu i różniczkując je ze względu na prędkości uogólnione, otrzymujemy:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Korzystając ze wzoru na siłę uogólnioną otrzymujemy:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

gdzie F jest siłą działającą na suwak B.

Teraz możesz zastąpić wartości z warunków problemowych: m₁ = 0 (ponieważ korba OA ma zerową masę), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0 i F = 20 N.

Podstawiając do wzoru na siłę uogólnioną, otrzymujemy:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 N·m.

Zatem uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej w chwili, gdy kąt obrotu korby wynosi 45°, wynosi -2,828 N·m. Odpowiedź: 4,16 (wartość dodatnia) otrzymuje się, biorąc moduł tej wielkości.

***

1. Dostęp do rozwiązania problemu 20.2.19 z kolekcji O.E. Kepe jest bardzo wygodny. w formacie cyfrowym.
2. Za pomocą produktu cyfrowego możesz szybko znaleźć żądany problem i jego rozwiązanie, bez konieczności przeszukiwania kolekcji papierów.
3. Możliwość wygodnego przeglądania problemu i jego rozwiązania na dowolnym urządzeniu z dostępem do Internetu.
4. Cyfrowy format pozwala zaoszczędzić miejsce na półce i nie martwić się o bezpieczeństwo papierowego egzemplarza.
5. Szybki dostęp do rozwiązania problemu pozwala skrócić czas poświęcany na odrabianie zadań domowych i zwiększyć efektywność nauki.
6. Wygodna opcja wyszukiwania według słów kluczowych i numeru zadania.
7. Możliwość wykorzystania produktu cyfrowego jako materiału dodatkowego w przygotowaniu do egzaminów lub olimpiad.

Osobliwości:

Doskonały produkt cyfrowy do rozwiązywania problemów z fizyki!

Dzięki temu rozwiązaniu udało mi się szybko i bezproblemowo uporać z problemem 20.2.19.

Rozwiązanie problemu stało się proste i niedrogie dzięki temu cyfrowemu produktowi.

Jakościowy i użyteczny przewodnik do rozwiązywania problemów z kolekcji Kepe O.E.

Bardzo podobało mi się, że rozwiązanie problemu zostało przedstawione ze szczegółowym wyjaśnieniem każdego kroku.

Dziękujemy za tak wygodny i praktyczny produkt cyfrowy do rozwiązywania problemów!

To rozwiązanie pomogło mi szybko i łatwo rozwiązać problem 20.2.19, bez marnowania czasu i wysiłku.