Kepe O.E. 收集的问题 20.2.19 的解决方案

20.2.19 一对力矩M=1.5N·m的力作用在曲柄OA上，力F=20N作用在滑块B上。确定此时的广义坐标对应的广义力？ = 45°，如果距离 OA = AB = 0.2 m（答案 4.16）

让我们考虑一个由曲柄 OA 和滑块 B 组成的机构。一对力矩为 $M = 1.5$ N $\cdot$ m 的力作用在曲柄 OA 上，力 $F = 20$ N 作用在曲柄 OA 上。滑块 B。距离 OA 和 AB 等于 $0.2$ m。

需要确定曲柄转角$\varphi = 45^\circ$时刻的广义坐标对应的广义力。

广义力可以通过以下公式求出： $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ 其中 $AB$ 是距轴的距离旋转到力 $F$、$Q$ 的作用点 - 广义力。

由于距离 $OA$ 等于 $AB$，因此 $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}。 $$

代入已知值，我们得到： $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16。 $$

因此，曲柄角 $\varphi = 45^\circ$ 时刻的广义力为 4.16。

Kepe O.? 收集的问题 20.2.19 的解决方案。

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Kepe O.? 收集的问题 20.2.19 的解决方案。在于求出曲柄旋转角度为45°时刻的广义坐标对应的广义力。

从问题条件可知，曲柄OA上作用有一对力矩M=1.5Nm的力，滑块B上作用有F=20N的力。OA和AB的距离等于0.2m。

为了解决这个问题，需要使用达朗贝尔-拉格朗日原理，它使我们能够将问题简化为求解系统的运动方程。

在这种情况下，广义坐标是曲柄OA的旋转角度。让我们找到系统动能的表达式：

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m² * v²²,

其中 m1 和 m2 是物体的质量，v1 和 v2 是它们的速度。

曲柄OA和滑块B的速度由相应广义坐标的导数确定：

v₁ = -r₁ * sin(θ) * θ' + r₁ * cos(θ) * θ'' - r₁' * sin(θ),

v2 = -r2 * sin(θ) * θ' + r2 * cos(θ) * θ'' - r2' * sin(θ),

其中，r₁和r2是曲柄OA和滑块B的半径，r₁'和r2'是它们对时间的导数，θ是曲柄OA的旋转角度，θ'和θ''是第一和θ''旋转角度相对于时间的二阶导数。

系统势能的表达式为：

U = -P₁ + P2,

其中P1和P2分别是曲柄OA和滑块B的势能。

曲柄 OA 的势能等于：

P₁ = 0。

滑块 B 的势能等于：

P2 = m2 * g * y2,

其中 m2 是滑块的质量，g 是自由落体加速度，y2 是滑块的垂直坐标。

广义坐标θ对应的广义力定义为：

Q_θ = d/dt(dL/dθ') - dL/dθ,

其中 L = T - U 是系统的拉格朗日量。

将动能和势能的表达式代入拉格朗日表达式并针对广义速度对其进行微分，我们得到：

dL/dθ' = m₁ * r₁² * (cos(θ) * θ'' - sin(θ) * θ'') + m2 * r2² * (cos(θ) * θ'' - sin(θ) * θ' ) - m2 * g * r2 * sin(θ),

d/dt(dL/dθ') = m₁ * r₁² * (cos(θ) * θ''' - sin(θ) * θ''') + m2 * r2² * (cos(θ) * θ''' - sin(θ) * θ'') - m2 * g * r2 * cos(θ) * θ'。

使用广义力的公式，我们得到：

Q_θ = m₁ * r₁² * (cos(θ) * θ''' - sin(θ) * θ''') + m2 * r2² * (cos(θ) * θ''' - sin(θ) * θ' ') - m2 * g * r2 * cos(θ) * θ' - F * r2 * cos(θ),

其中 F 是作用在滑块 B 上的力。

现在您可以替换问题条件中的值：m₁ = 0（因为 OA 曲柄的质量为零），m2 = 1 kg，g = 9.81 m/s2，r₁ = r2 = 0.2 m，θ = 45°， θ ' = θ'' = θ''' = 0 并且 F = 20 N。

代入广义力的公式，可得：

Q_θ = -m2 * g * r2 * cos(θ) * θ' - F * r2 * cos(θ) = -1 * 9.81 * 0.2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0.2 * cos(45°) = -2.828 Н·米。

这样，曲柄角为45°时刻的广义坐标对应的广义力就等于-2.828N·m。答案：4.16（正值）是对该量取模得到的。

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