Решение на задача 20.2.19 от колекцията на Kepe O.E.

20.2.19 Върху коляното OA действа двойка сили с момент M = 1,5 N • m, а върху плъзгача B действа сила F = 20 N. Определете обобщената сила, съответстваща на обобщената координата в момента, когато ? = 45°, ако разстоянията OA = AB = 0,2 м. (Отговор 4.16)

Нека разгледаме механизъм, състоящ се от манивела OA и плъзгач B. Двойка сили с момент $M = 1,5$ N $\cdot$ m действа върху манивела OA, а сила $F = 20$ N действа върху плъзгача B. Разстояния OA и AB равни на $0,2$ m.

Необходимо е да се определи обобщената сила, съответстваща на обобщената координата в момента, когато ъгълът на въртене на манивелата $\varphi = 45^\circ$.

Обобщената сила може да се намери по формулата: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ където $AB$ е разстоянието от оста на въртене до точката на приложение на силата $F$, $Q$ - обобщена сила.

Тъй като разстоянието $OA$ е равно на $AB$, тогава $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Замествайки известните стойности, получаваме: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1,5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0,2} = 4,16. $$

Така обобщената сила в момента, когато ъгълът на коляновия вал $\varphi = 45^\circ$ е 4,16.

Решение на задача 20.2.19 от сборника на Кепе О.?.

Представяме на вашето внимание решението на задача 20.2.19 от сборника със задачи на Кепе О.?. в механиката. Този цифров продукт е чудесен помощник за студенти по машинно инженерство и подготовка за изпити.

Разглежданият механизъм се състои от манивела OA и плъзгач B, върху които действат определени сили. В нашия продукт ще намерите цялостно решение на проблема, включително формули и изчисления стъпка по стъпка с обяснения.

Продуктът е проектиран в красив html формат, което прави материала лесен за четене и използване. Можете да закупите този дигитален продукт от магазин за дигитални продукти и да го използвате за самостоятелно изучаване на механика или подготовка за изпити.

***

Решение на задача 20.2.19 от сборника на Кепе О.?. се състои в намиране на обобщената сила, съответстваща на обобщената координата в момента, когато ъгълът на въртене на манивелата е 45 °.

От условията на задачата е известно, че върху манивелата OA действа двойка сили с момент M = 1,5 Nm, а върху плъзгача B действа сила F = 20 N. Разстоянията OA и AB са равни на 0,2 m.

За да се реши задачата, е необходимо да се използва принципът на D'Alembert-Lagrange, който ни позволява да намалим проблема до решаване на уравненията на движението на системата.

В този случай обобщената координата е ъгълът на въртене на манивела OA. Нека намерим израз за кинетичната енергия на системата:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

където m₁ и m₂ са масите на телата, v₁ и v₂ са техните скорости.

Скоростта на манивелата OA и плъзгача B се определя като производна на съответните обобщени координати:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

където r₁ и r₂ са радиусите на манивела OA и плъзгача B, r1' и r2' са техните производни по отношение на времето, Θ е ъгълът на въртене на манивелата OA, Θ' и Θ'' са първите и втори производни на ъгъла на завъртане спрямо времето.

Изразът за потенциалната енергия на системата е:

U = -P₁ + P₂,

където P1 и P2 са потенциалните енергии съответно на манивела OA и плъзгача B.

Потенциалната енергия на манивела OA е равна на:

P1 = 0.

Потенциалната енергия на плъзгача B е равна на:

P₂ = m₂ * g * y₂,

където m₂ е масата на плъзгача, g е ускорението на свободното падане, y₂ е вертикалната координата на плъзгача.

Обобщената сила, съответстваща на обобщената координата Θ, се определя като:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

където L = T - U е лагранжианът на системата.

Като заместим изразите за кинетичната и потенциалната енергия в израза за лагранжиана и го диференцираме по отношение на обобщените скорости, получаваме:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Използвайки формулата за обобщената сила, получаваме:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'''' - sin(Θ) * Θ'''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

където F е силата, действаща върху плъзгача B.

Сега можете да замените стойностите от условията на проблема: m₁ = 0 (тъй като манивелата на OA има нулева маса), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0 и F = 20 N.

Замествайки във формулата за обобщената сила, получаваме:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 Н·m.

По този начин обобщената сила, съответстваща на обобщената координата в момента, когато ъгълът на коляно е 45°, е равна на -2,828 N·m. Отговор: 4,16 (положителна стойност) се получава, като се вземе модулът на това количество.

***

1. Много е удобно да имате достъп до решението на задача 20.2.19 от колекцията на О.Е. Кепе. в цифров формат.
2. С помощта на дигитален продукт можете бързо да намерите желания проблем и неговото решение, без да търсите в хартиена колекция.
3. Възможност за удобен преглед на проблем и неговото решение на всяко устройство с достъп до Интернет.
4. Цифровият формат ви позволява да спестите място на рафта и да не се притеснявате за безопасността на хартиеното копие.
5. Бързият достъп до решението на даден проблем ви позволява да намалите времето, прекарано за домашна работа, и да увеличите ефективността на ученето.
6. Удобна опция за търсене по ключови думи и номер на задача.
7. Възможност за използване на дигитален продукт като допълнителен материал за подготовка за изпити или олимпиади.

Особености:

Отличен дигитален продукт за решаване на задачи по физика!

Благодарение на това решение успяхме бързо и лесно да се справим с проблема 20.2.19.

Решението на проблема стана лесно и достъпно благодарение на този цифров продукт.

Качествено и полезно ръководство за решаване на задачи от колекцията на Kepe O.E.

Много ми хареса, че решението на проблема беше представено с подробно обяснение на всяка стъпка.

Благодаря ви за такъв удобен и практичен дигитален продукт за решаване на проблеми!

Това решение ми помогна бързо и лесно да реша проблема 20.2.19, без да губя време и усилия.