Solution au problème 20.2.19 de la collection Kepe O.E.

20.2.19 Une paire de forces avec un moment M = 1,5 N • m agit sur la manivelle OA, et une force F = 20 N agit sur le curseur B. Déterminer la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée au moment où ? = 45°, si les distances OA = AB = 0,2 m (Réponse 4.16)

Considérons un mécanisme constitué d'une manivelle OA et d'un curseur B. Une paire de forces avec un moment $M = 1,5$ N $\cdot$ m agit sur la manivelle OA, et une force $F = 20$ N agit sur le curseur B. Distances OA et AB égales à $0,2$ m.

Il faut déterminer la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée à l'instant où l'angle de rotation de la manivelle $\varphi = 45^\circ$.

La force généralisée peut être trouvée par la formule : $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ où $AB$ est la distance à l'axe de rotation jusqu'au point d'application de la force $F$, $Q$ - force généralisée.

Puisque la distance $OA$ est égale à $AB$, alors $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons : $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16. $$

Ainsi, la force généralisée au moment où l'angle de vilebrequin $\varphi = 45^\circ$ est de 4,16.

Solution au problème 20.2.19 de la collection Kepe O.?.

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Le mécanisme considéré se compose d'une manivelle OA et d'un curseur B, sur lesquels certaines forces agissent. Dans notre produit, vous trouverez une solution complète au problème, comprenant des formules et des calculs étape par étape avec des explications.

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Solution au problème 20.2.19 de la collection Kepe O.?. consiste à trouver la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée à l'instant où l'angle de rotation de la manivelle est de 45°.

D'après les conditions problématiques, on sait qu'une paire de forces avec un moment M = 1,5 Nm agit sur la manivelle OA et qu'une force F = 20 N agit sur le curseur B. Les distances OA et AB sont égales à 0,2 m.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser le principe de D'Alembert-Lagrange, qui permet de réduire le problème à la résolution des équations de mouvement du système.

Dans ce cas, la coordonnée généralisée est l'angle de rotation de la manivelle OA. Trouvons une expression de l'énergie cinétique du système :

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

où m₁ et m₂ sont les masses des corps, v₁ et v₂ sont leurs vitesses.

La vitesse de la manivelle OA et du curseur B est déterminée comme la dérivée des coordonnées généralisées correspondantes :

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

où r₁ et r₂ sont les rayons de la manivelle OA et du curseur B, r₁' et r₂' sont leurs dérivées par rapport au temps, Θ est l'angle de rotation de la manivelle OA, Θ' et Θ'' sont les premiers et dérivées secondes de l'angle de rotation par rapport au temps.

L’expression de l’énergie potentielle du système est :

U = -P₁ + P₂,

où P₁ et P₂ sont respectivement les énergies potentielles de la manivelle OA et du curseur B.

L'énergie potentielle de la manivelle OA est égale à :

P₁ = 0.

L'énergie potentielle du curseur B est égale à :

P₂ = m₂ * g * y₂,

où m₂ est la masse du curseur, g est l'accélération de la chute libre, y₂ est la coordonnée verticale du curseur.

La force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée Θ est définie comme :

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

où L = T - U est le Lagrangien du système.

En substituant les expressions des énergies cinétiques et potentielles à l'expression du Lagrangien et en la différenciant par rapport aux vitesses généralisées, on obtient :

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

En utilisant la formule de la force généralisée, on obtient :

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

où F est la force agissant sur le curseur B.

Vous pouvez maintenant remplacer les valeurs des conditions problématiques : m₁ = 0 (puisque la manivelle OA a une masse nulle), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0 et F = 20 N.

En substituant dans la formule la force généralisée, on obtient :

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 Н·m.

Ainsi, la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée à l'instant où l'angle du vilebrequin est de 45° est égale à -2,828 N.m. Réponse : 4,16 (valeur positive) s'obtient en prenant le module de cette quantité.

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