Solución al problema 20.2.19 de la colección de Kepe O.E.

20.2.19 Un par de fuerzas con un momento M = 1.5 N · m actúa sobre la manivela OA, y una fuerza F = 20 N actúa sobre el deslizador B. Determine la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada en el momento en que ? = 45°, si distancias OA = AB = 0.2 m (Respuesta 4.16)

Consideremos un mecanismo que consta de una manivela OA y un deslizador B. Un par de fuerzas con un momento $M = 1,5$ N $\cdot$ m actúa sobre la manivela OA, y una fuerza $F = 20$ N actúa sobre el control deslizante B. Distancias OA y AB iguales a $0,2$ m.

Es necesario determinar la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada en el momento en que el ángulo de rotación de la manivela $\varphi = 45^\circ$.

La fuerza generalizada se puede encontrar mediante la fórmula: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ donde $AB$ es la distancia desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza $F$, $Q$ - fuerza generalizada.

Dado que la distancia $OA$ es igual a $AB$, entonces $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16. $$

Por lo tanto, la fuerza generalizada en el momento en que el ángulo del cigüeñal $\varphi = 45^\circ$ es 4,16.

Solución al problema 20.2.19 de la colección de Kepe O.?.

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El mecanismo considerado consta de una manivela OA y un control deslizante B, sobre los que actúan determinadas fuerzas. En nuestro producto encontrarás una solución completa al problema, incluyendo fórmulas y cálculos paso a paso con explicaciones.

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Solución al problema 20.2.19 de la colección de Kepe O.?. Consiste en encontrar la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada en el momento en que el ángulo de rotación de la manivela es de 45°.

De las condiciones del problema se sabe que un par de fuerzas con un momento M = 1,5 Nm actúa sobre la manivela OA y una fuerza F = 20 N actúa sobre el deslizador B. Las distancias OA y AB son iguales a 0,2 m.

Para resolver el problema es necesario utilizar el principio de D'Alembert-Lagrange, que permite reducir el problema a resolver las ecuaciones de movimiento del sistema.

En este caso, la coordenada generalizada es el ángulo de rotación de la manivela OA. Encontremos una expresión para la energía cinética del sistema:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

donde m₁ y m₂ son las masas de los cuerpos, v₁ y v₂ son sus velocidades.

La velocidad de la manivela OA y el control deslizante B se determina como la derivada de las coordenadas generalizadas correspondientes:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

donde r₁ y r₂ son los radios de la manivela OA y el cursor B, r₁' y r₂' son sus derivadas con respecto al tiempo, Θ es el ángulo de rotación de la manivela OA, Θ' y Θ'' son los primeros y segundas derivadas del ángulo de rotación con respecto al tiempo.

La expresión de la energía potencial del sistema es:

U = -P₁ + P₂,

donde P₁ y P₂ son las energías potenciales de la manivela OA y el control deslizante B, respectivamente.

La energía potencial de la manivela OA es igual a:

P₁ = 0.

La energía potencial del control deslizante B es igual a:

P₂ = m₂ * g * y₂,

donde m₂ es la masa del control deslizante, g es la aceleración de caída libre, y₂ es la coordenada vertical del control deslizante.

La fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada Θ se define como:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

donde L = T - U es el lagrangiano del sistema.

Sustituyendo las expresiones de las energías cinética y potencial en la expresión de la lagrangiana y diferenciándola respecto de las velocidades generalizadas, obtenemos:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * pecado(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - pecado(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Usando la fórmula de la fuerza generalizada, obtenemos:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

donde F es la fuerza que actúa sobre el deslizador B.

Ahora puedes sustituir los valores de las condiciones del problema: m₁ = 0 (ya que la manivela OA tiene masa cero), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ' = Θ'' = Θ''' = 0 y F = 20 N.

Sustituyendo en la fórmula de la fuerza generalizada, obtenemos:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 Н·m.

Por tanto, la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada en el momento en que el ángulo del cigüeñal es de 45° es igual a -2,828 N·m. Respuesta: 4,16 (valor positivo) se obtiene tomando el módulo de esta cantidad.

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