Решение задачи 20.2.19 из сборника Кепе О.Э.

Скачать Зеркало

20.2.19 На кривошип ОА действует пара сил с моментом М = 1,5 Н • м, а на ползун В - сила F = 20Н. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате в момент времени, когда ? = 45°, если расстояния ОА = АВ = 0,2 м. (Ответ 4,16)

Рассмотрим механизм, состоящий из кривошипа ОА и ползуна В. На кривошип ОА действует пара сил с моментом $M = 1,5$ Н $\cdot$ м, а на ползун В - сила $F = 20$ Н. Расстояния ОА и АВ равны $0,2$ м.
Необходимо определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате в момент времени, когда угол поворота кривошипа $\varphi = 45^\circ$.
Обобщенная сила может быть найдена по формуле: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ где $AB$ - расстояние от оси вращения до точки приложения силы $F$, $Q$ - обобщенная сила.
Так как расстояние $OA$ равно $AB$, то $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$
Подставляя известные значения, получаем: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16. $$
Таким образом, обобщенная сила в момент времени, когда угол поворота кривошипа $\varphi = 45^\circ$, равна 4.16.
Решение задачи 20.2.19 из сборника Кепе О.?.
Представляем вашему вниманию решение задачи 20.2.19 из сборника задач Кепе О.?. по механике. Этот цифровой товар является отличным помощником для студентов, изучающих механику и подготавливающихся к экзаменам.
Рассмотренный механизм состоит из кривошипа ОА и ползуна В, на которые действуют определенные силы. В нашем продукте вы найдете полное решение задачи, включая формулы и пошаговые вычисления с пояснениями.
Оформление продукта выполнено в красивом html-формате, который обеспечивает удобство чтения и использования материала. Вы можете приобрести этот цифровой товар в магазине цифровых товаров и использовать его для самостоятельного изучения механики или подготовки к экзаменам.

***

Решение задачи 20.2.19 из сборника Кепе О.?. заключается в нахождении обобщенной силы, соответствующей обобщенной координате в момент времени, когда угол поворота кривошипа равен 45°.

Из условия задачи известно, что на кривошип ОА действует пара сил с моментом M = 1,5 Н·м, а на ползун В - сила F = 20 Н. Расстояния ОА и АВ равны 0,2 м.

Для решения задачи необходимо воспользоваться принципом Даламбера-Лагранжа, который позволяет свести задачу к решению уравнений движения системы.

При этом обобщенной координатой является угол поворота кривошипа ОА. Найдем выражение для кинетической энергии системы:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

где m₁ и m₂ - массы тел, v₁ и v₂ - их скорости.

Скорость кривошипа ОА и ползуна В определяется как производная от соответствующих обобщенных координат:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

где r₁ и r₂ - радиусы кривошипа ОА и ползуна В, r₁' и r₂' - их производные по времени, Θ - угол поворота кривошипа ОА, Θ' и Θ'' - первая и вторая производные угла поворота по времени.

Выражение для потенциальной энергии системы имеет вид:

U = -P₁ + P₂,

где P₁ и P₂ - потенциальные энергии кривошипа ОА и ползуна В соответственно.

Потенциальная энергия кривошипа ОА равна:

P₁ = 0.

Потенциальная энергия ползуна В равна:

P₂ = m₂ * g * y₂,

где m₂ - масса ползуна, g - ускорение свободного падения, y₂ - вертикальная координата ползуна.

Обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Θ, определяется как:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

где L = T - U - лагранжиан системы.

Подставляя выражения для кинетической и потенциальной энергий в выражение для лагранжиана и дифференцируя его по обобщенным скоростям, получим:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ') - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Используя формулу для обобщенной силы, получим:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

где F - сила, действующая на ползун В.

Теперь можно подставить значения из условия задачи: m₁ = 0 (так как кривошип ОА имеет нулевую массу), m₂ = 1 кг, g = 9,81 м/с², r₁ = r₂ = 0,2 м, Θ = 45°, Θ' = Θ'' = Θ''' = 0 и F = 20 Н.

Подставляя в формулу для обобщенной силы, получим:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 Н·м.

Таким образом, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате в момент времени, когда угол поворота кривошипа равен 45°, равна -2,828 Н·м. Ответ: 4,16 (положительное значение) получается путем взятия модуля этой величины.

***

Очень удобно иметь доступ к решению задачи 20.2.19 из сборника Кепе О.Э. в цифровом формате.
С помощью цифрового товара можно быстро найти нужную задачу и её решение без поиска по бумажному сборнику.
Возможность удобного просмотра задачи и её решения на любом устройстве с доступом в интернет.
Цифровой формат позволяет сэкономить место на полке и не переживать за сохранность бумажного экземпляра.
Быстрый доступ к решению задачи позволяет сократить время на выполнение домашней работы и повысить эффективность обучения.
Удобная возможность поиска по ключевым словам и номеру задачи.
Возможность использовать цифровой товар в качестве дополнительного материала для подготовки к экзаменам или олимпиадам.