Soluzione al problema 20.2.19 dalla collezione di Kepe O.E.

20.2.19 Sulla pedivella OA agisce una coppia di forze con momento M = 1.5 N • m, sul cursore B agisce una forza F = 20 N. Determinare la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata nel momento in cui ? = 45°, se le distanze OA = AB = 0,2 m (Risposta 4.16)

Consideriamo un meccanismo costituito da una manovella OA e un cursore B. Sulla manovella OA agisce una coppia di forze con momento $M = 1.5$ N $\cdot$ m, e su di essa agisce una forza $F = 20$ N il cursore B. Distanze OA e AB pari a $0,2$ m.

È necessario determinare la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata nel momento in cui l'angolo di rotazione della manovella $\varphi = 45^\circ$.

La forza generalizzata può essere trovata con la formula: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ dove $AB$ è la distanza dall'asse di rotazione fino al punto di applicazione della forza $F$, $Q$ - forza generalizzata.

Poiché la distanza $OA$ è uguale a $AB$, allora $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Sostituendo i valori noti, otteniamo: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16. $$

Pertanto, la forza generalizzata nel momento in cui l'angolo di manovella $\varphi = 45^\circ$ è 4,16.

Soluzione al problema 20.2.19 dalla collezione di Kepe O.?.

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Il meccanismo considerato è costituito da una manovella OA e da un cursore B, su cui agiscono determinate forze. Nel nostro prodotto troverai una soluzione completa al problema, comprese formule e calcoli passo passo con spiegazioni.

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Soluzione al problema 20.2.19 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel trovare la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata nell'istante in cui l'angolo di rotazione della pedivella è di 45°.

Dalle condizioni del problema si sa che sulla manovella OA agisce una coppia di forze con un momento M = 1,5 Nm e sul cursore B una forza F = 20 N. Le distanze OA e AB sono pari a 0,2 m.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare il principio di D'Alembert-Lagrange, che permette di ridurre il problema alla soluzione delle equazioni del moto del sistema.

In questo caso la coordinata generalizzata è l'angolo di rotazione della pedivella OA. Troviamo l'espressione dell'energia cinetica del sistema:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

dove m₁ e m₂ sono le masse dei corpi, v₁ e v₂ sono le loro velocità.

La velocità della manovella OA e del cursore B è determinata come derivata delle corrispondenti coordinate generalizzate:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

dove r₁ e r₂ sono i raggi della manovella OA e del cursore B, r₁' e r₂' sono le loro derivate rispetto al tempo, Θ è l'angolo di rotazione della manovella OA, Θ' e Θ'' sono il primo e derivate seconde dell'angolo di rotazione rispetto al tempo.

L’espressione dell’energia potenziale del sistema è:

U = -P₁ + P₂,

dove P₁ e P₂ sono le energie potenziali rispettivamente della manovella OA e del cursore B.

L’energia potenziale della manovella OA è pari a:

P₁ = 0.

L’energia potenziale del cursore B è pari a:

P₂ = m₂ * g * y₂,

dove m₂ è la massa del cursore, g è l'accelerazione di caduta libera, y₂ è la coordinata verticale del cursore.

La forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata Θ è definita come:

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ,

dove L = T - U è la lagrangiana del sistema.

Sostituendo le espressioni dell'energia cinetica e potenziale nell'espressione della Lagrangiana e differenziandola rispetto alle velocità generalizzate, otteniamo:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Utilizzando la formula per la forza generalizzata, otteniamo:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

dove F è la forza che agisce sul cursore B.

Ora puoi sostituire i valori delle condizioni del problema: m₁ = 0 (poiché la manovella OA ha massa zero), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0 e F = 20 N.

Sostituendo nella formula della forza generalizzata, otteniamo:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos(45°) = -2,828 Í·m.

Pertanto, la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata nel momento in cui l'angolo di pedivella è di 45° è pari a -2,828 N·m. Risposta: 4.16 (valore positivo) si ottiene prendendo il modulo di questa quantità.

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