Kepe O.E. のコレクションからの問題 20.2.19 の解決策

20.2.19 クランク OA にはモーメント M = 1.5 N・m の力が働き、スライダ B には F = 20 N の力が働きます。 ? のときの一般化座標に対応する一般化力を求めます。 = 45°、距離 OA = AB = 0.2 m の場合 (答え 4.16)

クランク OA とスライダー B からなる機構を考えます。クランク OA にはモーメント $M = 1.5$ N $\cdot$ m の力が働き、クランク OA には力 $F = 20$ N が働きます。スライダー B。距離 OA と AB は $0.2$ m に等しい。

クランクの回転角 $\varphi = 45^\circ$ の瞬間の一般化座標に対応する一般化力を求める必要があります。

一般化された力は次の式で求められます。 $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ ここで、$AB$ は軸からの距離です。力の作用点への回転 $F$、$Q$ - 一般化された力。

距離 $OA$ は $AB$ に等しいので、$$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA} となります。 $$

既知の値を代入すると、 $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1.5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0.2} = 4.16 が得られます。 $$

したがって、クランク角 $\varphi = 45^\circ$ の瞬間の一般化された力は 4.16 になります。

Kepe O.? のコレクションからの問題 20.2.19 の解決策。

Kepe O.? による問題集から問題 20.2.19 の解決策を紹介します。力学で。このデジタル製品は、機械工学の学生や試験の準備に非常に役立ちます。

考慮されている機構はクランク OA とスライダー B で構成されており、これらには特定の力が作用します。当社の製品では、数式や段階的な計算と説明を含む、問題の完全な解決策が見つかります。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 20.2.19 の解決策。クランクの回転角度が 45°であるときの一般化座標に対応する一般化力を見つけることにあります。

問題の条件から、モーメント M = 1.5 Nm の力がクランク OA に作用し、力 F = 20 N がスライダー B に作用することがわかります。距離 OA と AB は 0.2 m です。

この問題を解決するには、ダランベール ラグランジュの原理を使用する必要があります。これにより、問題をシステムの運動方程式を解くことに帰着させることができます。

この場合、一般化座標はクランクＯＡの回転角となる。システムの運動エネルギーの式を見つけてみましょう。

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²、

ここで、m1 と m2 は物体の質量、v1 と v2 は速度です。

クランク OA とスライダー B の速度は、対応する一般化座標の導関数として決定されます。

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ)、

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ)、

ここで、r1 と r2 はクランク OA とスライダー B の半径、r1' と r2' は時間に関する微分値、Θ はクランク OA の回転角、Θ' と Θ'' は最初の角度、および Θ'' です。時間に対する回転角度の二次導関数。

システムの位置エネルギーの式は次のとおりです。

U = -P₁ + P₂、

ここで、P1 と P2 はそれぞれクランク OA とスライダー B の位置エネルギーです。

クランク OA の位置エネルギーは次のようになります。

P₁ = 0。

スライダー B の位置エネルギーは次のようになります。

P₂ = m₂ * g * y₂、

ここで、m2 はスライダーの質量、g は自由落下の加速度、y2 はスライダーの垂直座標です。

一般化座標 Θ に対応する一般化力は次のように定義されます。

Q_Θ = d/dt(dL/dΘ') - dL/dΘ、

ここで、L = T - U はシステムのラグランジアンです。

運動エネルギーと位置エネルギーの式をラグランジュ式に代入し、それを一般化速度に関して微分すると、次が得られます。

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ)、

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'。

一般化された力の公式を使用すると、次のようになります。

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ)、

ここで、F はスライダー B に作用する力です。

これで、問題の条件からの値を置き換えることができます: m₁ = 0 (OA クランクの質量がゼロであるため)、m₂ = 1 kg、g = 9.81 m/s²、r₁ = r₂ = 0.2 m、Θ = 45°、 Θ ' = Θ'' = Θ''' = 0、F = 20 N。

一般化された力の公式に代入すると、次のようになります。

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9.81 * 0.2 * cos(45°) * 0 - 20 * 0.2 * cos(45°) = -2.828Н·m。

したがって、クランク角４５°の瞬間の一般化座標に対応する一般化力は、−２．８２８Ｎ・ｍとなる。答え: 4.16 (正の値) は、この量の係数を取得することによって得られます。

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