Řešení problému 20.2.19 ze sbírky Kepe O.E.

20.2.19 Na kliku OA působí dvojice sil s momentem M = 1,5 N • m a na jezdec B síla F = 20 N. Určete zobecněnou sílu odpovídající zobecněné souřadnici v době, kdy ? = 45°, pokud vzdálenosti OA = AB = 0,2 m. (Odpověď 4.16)

Uvažujme mechanismus skládající se z kliky OA a jezdce B. Na kliku OA působí dvojice sil s momentem $M = 1,5$ N $\cdot$ m, na kliku působí síla $F = 20$ N posuvník B. Vzdálenosti OA a AB se rovnají 0,2 $ m.

Je nutné určit zobecněnou sílu odpovídající zobecněné souřadnici v okamžiku, kdy úhel natočení kliky $\varphi = 45^\circ$.

Zobecněnou sílu lze nalézt podle vzorce: $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{AB}, $$ kde $AB$ je vzdálenost od osy rotace do bodu působení síly $F$, $Q$ - zobecněná síla.

Protože vzdálenost $OA$ je rovna $AB$, pak $$ Q = F \cdot \cos\varphi - M\cdot\dfrac{\sin\varphi}{OA}. $$

Dosazením známých hodnot dostaneme: $$ Q = 20 \cdot \cos 45^\circ - 1,5 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{0,2} = 4,16. $$

Tedy zobecněná síla v okamžiku, kdy úhel kliky $\varphi = 45^\circ$ je 4,16.

Řešení problému 20.2.19 ze sbírky Kepe O.?.

Předkládáme vaší pozornosti řešení úlohy 20.2.19 ze sbírky úloh Kepe O.?. v mechanice. Tento digitální produkt je skvělou pomůckou pro studenty strojního inženýrství a přípravu na zkoušky.

Uvažovaný mechanismus se skládá z kliky OA a jezdce B, na které působí určité síly. V našem produktu najdete kompletní řešení problému včetně vzorců a výpočtů krok za krokem s vysvětlením.

Produkt je navržen v krásném formátu html, díky čemuž je materiál snadno čitelný a použitelný. Tento digitální produkt si můžete zakoupit v obchodě s digitálními produkty a použít jej ke studiu mechaniky nebo k přípravě na zkoušky.

***

Řešení problému 20.2.19 ze sbírky Kepe O.?. spočívá v nalezení zobecněné síly odpovídající zobecněné souřadnici v okamžiku, kdy je úhel natočení kliky 45°.

Z problémových podmínek je známo, že na kliku OA působí dvojice sil s momentem M = 1,5 Nm a na jezdec B síla F = 20 N. Vzdálenosti OA a AB jsou rovny 0,2 m.

K vyřešení problému je nutné použít D'Alembert-Lagrangeův princip, který nám umožňuje redukovat problém na řešení pohybových rovnic soustavy.

V tomto případě je zobecněnou souřadnicí úhel natočení kliky OA. Najděte výraz pro kinetickou energii systému:

T = 1/2 * m₁ * v₁² + 1/2 * m₂ * v₂²,

kde m₁ a m₂ jsou hmotnosti těles, v₁ a v₂ jsou jejich rychlosti.

Rychlost kliky OA a jezdce B je určena jako derivace odpovídajících zobecněných souřadnic:

v₁ = -r₁ * sin(Θ) * Θ' + r₁ * cos(Θ) * Θ'' - r₁' * sin(Θ),

v₂ = -r₂ * sin(Θ) * Θ' + r₂ * cos(Θ) * Θ'' - r₂' * sin(Θ),

kde r₁ a r₂ jsou poloměry kliky OA a jezdce B, r₁' a r₂' jsou jejich derivace s ohledem na čas, Θ je úhel natočení kliky OA, Θ' a Θ'' jsou první a druhé derivace úhlu natočení vzhledem k času.

Výraz pro potenciální energii systému je:

U = -P1 + P2,

kde P1 a P2 jsou potenciální energie kliky OA a jezdce B, v daném pořadí.

Potenciální energie kliky OA se rovná:

P1 = 0.

Potenciální energie jezdce B se rovná:

P₂ = m₂ * g * y₂,

kde m₂ je hmotnost jezdce, g je zrychlení volného pádu, y2 je vertikální souřadnice jezdce.

Zobecněná síla odpovídající zobecněné souřadnici Θ je definována jako:

Q_Θ = d/dt(dl/dΘ') - dL/dΘ,

kde L = T - U je Lagrangián systému.

Dosazením výrazů pro kinetickou a potenciální energii do výrazu pro Lagrangián a jeho diferenciací s ohledem na zobecněné rychlosti získáme:

dL/dΘ' = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ'') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ'' - sin(Θ) * Θ' ) - m₂ * g * r₂ * sin(Θ),

d/dt(dL/dΘ') = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ'') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ'.

Pomocí vzorce pro zobecněnou sílu dostaneme:

Q_Θ = m₁ * r₁² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ''') + m₂ * r₂² * (cos(Θ) * Θ''' - sin(Θ) * Θ' ') - m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ),

kde F je síla působící na jezdec B.

Nyní můžete dosadit hodnoty z problémových podmínek: m₁ = 0 (protože klika OA má nulovou hmotnost), m₂ = 1 kg, g = 9,81 m/s², r₁ = r₂ = 0,2 m, Θ = 45°, Θ' = Θ'' = Θ''' = 0 a F = 20 N.

Dosazením do vzorce pro zobecněnou sílu dostaneme:

Q_Θ = -m₂ * g * r₂ * cos(Θ) * Θ' - F * r₂ * cos(Θ) = -1 * 9,81 * 0,2 * cos (45°) * 0 - 20 * 0,2 * cos (45°) = -2,828 Н·m.

Zobecněná síla odpovídající zobecněné souřadnici v okamžiku, kdy je úhel kliky 45°, je tedy rovna -2,828 N·m. Odpověď: 4,16 (kladná hodnota) se získá odečtením modulu této veličiny.

***

1. Je velmi výhodné mít přístup k řešení problému 20.2.19 ze sbírky O.E. Kepe. v digitálním formátu.
2. Pomocí digitálního produktu můžete rychle najít požadovaný problém a jeho řešení bez prohledávání sbírky papíru.
3. Možnost pohodlně zobrazit problém a jeho řešení na jakémkoli zařízení s přístupem k internetu.
4. Digitální formát vám umožní ušetřit místo na polici a nemusíte se bát o bezpečnost papírové kopie.
5. Rychlý přístup k řešení problému vám umožní zkrátit čas strávený domácími úkoly a zvýšit efektivitu učení.
6. Pohodlná možnost vyhledávání podle klíčových slov a čísla úkolu.
7. Schopnost používat digitální produkt jako doplňkový materiál pro přípravu na zkoušky nebo olympiády.

Zvláštnosti:

Vynikající digitální produkt pro řešení problémů ve fyzice!

Díky tomuto řešení jsem si dokázal rychle a jednoduše poradit s problémem 20.2.19.

Řešení problému se díky tomuto digitálnímu produktu stalo jednoduchým a cenově dostupným.

Kvalitní a užitečný průvodce pro řešení problémů ze sbírky Kepe O.E.

Velmi se mi líbilo, že řešení problému bylo prezentováno s podrobným vysvětlením každého kroku.

Děkujeme za tak pohodlný a praktický digitální produkt pro řešení problémů!

Toto řešení mi pomohlo rychle a snadno vyřešit problém 20.2.19 bez plýtvání časem a úsilím.