Solução para o problema 15.1.9 da coleção Kepe O.E.

Problema 15.1.9 da coleção de Kepe O.?. refere-se à seção de análise matemática e tem a seguinte condição:

"Prove que a função $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ está aumentando monotonicamente no intervalo $[-1,2]$."

Para resolver este problema, é necessário analisar a derivada da função $f(x)$ no intervalo especificado. Se a derivada da função $f'(x)$ for positiva em todo o intervalo $[-1,2]$, isso significará que a função $f(x)$ aumenta monotonicamente neste intervalo.

Vamos calcular a derivada da função $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Agora vamos encontrar as raízes desta derivada, igualando-a a zero:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

Obtemos dois pontos onde a derivada da função é zero. Restam três intervalos no segmento $[-1,2]$:

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

Da tabela de sinais da derivada de uma função pode-se ver que no intervalo $[-1,0)$ a derivada é negativa, no intervalo $(0,2)$ a derivada é positiva, e no intervalo $[2,+\infty)$ a derivada também é positiva.

Assim, em todo o intervalo $[-1,2]$ a derivada da função $f(x)$ é positiva, o que significa que a função $f(x)$ aumenta monotonicamente neste intervalo. Problema 15.1.9 da coleção de Kepe O.?. resolvido.

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Problema 15.1.9 da coleção de Kepe O.?. é que você precisa encontrar o valor da integral do produto de duas funções f(x) e g(x) em um determinado intervalo [a, b]. Para resolver este problema, é necessário utilizar métodos de análise matemática, como o método dos retângulos, o método dos trapézios ou o método de Simpson.

Primeiro, você precisa analisar as funções f(x) e g(x) especificadas na definição do problema e determinar qual método de integração é melhor usar neste caso. Então você precisa aplicar o método selecionado para calcular o valor da integral.

A resolução do Problema 15.1.9 pode ser bastante complexa, por isso é importante ter um bom conhecimento de análise matemática e capacidade de aplicar métodos de integração em diversas situações.

Solução do problema 15.1.9 da coleção de Kepe O.?. requer a determinação do trabalho da gravidade durante a primeira metade do período de oscilação de um corpo pesando 0,1 kg suspenso na extremidade de uma mola não esticada com um coeficiente de rigidez c = 50 N/m.

Sabe-se que quando um corpo é solto sem velocidade inicial, a mola começa a oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. O período de oscilação da mola pode ser calculado usando a fórmula T = 2π√(m/c), onde m é a massa do corpo, c é o coeficiente de rigidez da mola.

A primeira metade do período de oscilação corresponde ao momento em que o corpo passa da posição de equilíbrio e começa a se mover na direção oposta. Neste trecho da trajetória do movimento, o corpo desacelera sob a ação da gravidade direcionada para baixo, e o trabalho dessa força é calculado pela fórmula A = mgh, onde g é a aceleração da queda livre, h é a altura para qual o corpo subiu em relação à posição de equilíbrio da mola.

A altura de elevação de um corpo pode ser encontrada a partir da lei de conservação de energia de um sistema mecânico, incluindo um corpo e uma mola. A energia potencial inicial do sistema é 0, pois o corpo foi liberado sem velocidade inicial. Isso significa que a energia mecânica total do sistema no momento inicial é igual à energia cinética do corpo, que também é igual a 0. No momento em que o corpo passa pela posição de equilíbrio, a energia cinética do corpo também é igual a 0, e a energia potencial do sistema é máxima e igual a 0,5kh^2, onde k é o coeficiente de rigidez da mola, h - deslocamento máximo da mola em relação à posição de equilíbrio.

De acordo com a lei de conservação de energia de um sistema mecânico, o deslocamento máximo da mola pode ser encontrado a partir da equação 0,5kh^2 = mgh, de onde h = √(2mg/k).

Assim, o trabalho realizado pela gravidade durante a primeira metade do período de oscilação é igual a A = mgh = mg√(2mg/k). Substituindo os valores conhecidos, obtemos A = 9,62 • 10^-3 J.

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