Solution au problème 15.1.9 de la collection Kepe O.E.

Problème 15.1.9 de la collection de Kepe O.?. fait référence à la section d'analyse mathématique et a la condition suivante :

"Prouver que la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ est croissante de manière monotone sur l'intervalle $[-1,2]$."

Pour résoudre ce problème, il faut analyser la dérivée de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle spécifié. Si la dérivée de la fonction $f'(x)$ est positive sur tout l'intervalle $[-1,2]$, alors cela signifiera que la fonction $f(x)$ augmente de façon monotone sur cet intervalle.

Calculons la dérivée de la fonction $f(x)$ :

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Trouvons maintenant les racines de cette dérivée, en l'assimilant à zéro :

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

On obtient deux points où la dérivée de la fonction est nulle. Il reste trois intervalles sur le segment $[-1,2]$ :

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

Du tableau des signes de la dérivée d'une fonction on peut voir que sur l'intervalle $[-1,0)$ la dérivée est négative, sur l'intervalle $(0,2)$ la dérivée est positive, et sur l'intervalle $[2,+\infty)$ la dérivée est également positive.

Ainsi, sur tout l'intervalle $[-1,2]$ la dérivée de la fonction $f(x)$ est positive, ce qui signifie que la fonction $f(x)$ augmente de façon monotone sur cet intervalle. Problème 15.1.9 de la collection de Kepe O.?. résolu.

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Problème 15.1.9 de la collection de Kepe O.?. est qu'il faut trouver la valeur de l'intégrale du produit de deux fonctions f(x) et g(x) sur un intervalle donné [a, b]. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'utiliser des méthodes d'analyse mathématique, comme la méthode des rectangles, la méthode des trapèzes ou la méthode Simpson.

Tout d’abord, vous devez analyser les fonctions f(x) et g(x) spécifiées dans l’énoncé du problème et déterminer quelle méthode d’intégration est la meilleure à utiliser dans ce cas. Ensuite, vous devez appliquer la méthode sélectionnée pour calculer la valeur de l'intégrale.

La résolution du problème 15.1.9 peut être assez complexe, il est donc important d'avoir une bonne connaissance de l'analyse mathématique et la capacité d'appliquer des méthodes d'intégration dans diverses situations.

Solution au problème 15.1.9 de la collection de Kepe O.?. nécessite de déterminer le travail de gravité pendant la première moitié de la période d'oscillation d'un corps pesant 0,1 kg suspendu au bout d'un ressort non étiré avec un coefficient de raideur c = 50 N/m.

On sait que lorsqu'un corps est relâché sans vitesse initiale, le ressort se met à osciller autour de sa position d'équilibre. La période d'oscillation du ressort peut être calculée à l'aide de la formule T = 2π√(m/c), où m est la masse corporelle, c est le coefficient de rigidité du ressort.

La première moitié de la période d'oscillation correspond au moment où le corps dépasse la position d'équilibre et commence à se déplacer dans la direction opposée. Dans cette section de la trajectoire de mouvement, le corps ralentit sous l'action de la gravité dirigée vers le bas, et le travail de cette force est calculé par la formule A = mgh, où g est l'accélération de la chute libre, h est la hauteur à dont le corps s'est élevé par rapport à la position d'équilibre du ressort.

La hauteur de levage d'un corps peut être déterminée à partir de la loi de conservation de l'énergie d'un système mécanique, comprenant un corps et un ressort. L'énergie potentielle initiale du système est nulle, puisque le corps a été libéré sans vitesse initiale. Cela signifie que l'énergie mécanique totale du système à l'instant initial est égale à l'énergie cinétique du corps, qui est également égale à 0. Au moment où le corps passe par la position d'équilibre, l'énergie cinétique du corps est également égal à 0, et l'énergie potentielle du système est maximale et égale à 0,5kh^2, où k - coefficient de rigidité du ressort, h - déplacement maximum du ressort par rapport à la position d'équilibre.

Selon la loi de conservation de l'énergie d'un système mécanique, le déplacement maximal du ressort peut être trouvé à partir de l'équation 0,5kh^2 = mgh, d'où h = √(2mg/k).

Ainsi, le travail effectué par la gravité pendant la première moitié de la période d'oscillation est égal à A = mgh = mg√(2 mg/k). En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons A = 9,62 • 10^-3 J.

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