Kepe O.E. のコレクションからの問題 15.1.9 の解決策。

Kepe O.? のコレクションからの問題 15.1.9。数学的解析のセクションを指し、次の条件があります。

「関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ が区間 $[-1,2]$ で単調増加であることを証明してください。」

この問題を解決するには、関数 $f(x)$ の導関数を指定された区間で解析する必要があります。関数 $f'(x)$ の導関数が区間 $[-1,2]$ 全体で正である場合、これは関数 $f(x)$ がこの区間で単調増加することを意味します。

関数 $f(x)$ の導関数を計算してみましょう。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

次に、この導関数の根を求めて、それをゼロにします。

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0、x_2 = 2$

関数の導関数がゼロになる 2 つの点が得られます。セグメント $[-1,2]$ には 3 つの間隔が残っています。

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

関数の導関数の符号の表から、区間 $[-1,0)$ では導関数は負であり、区間 $(0,2)$ では導関数は正であり、区間では導関数が正であることがわかります。 $[2,+\infty)$ 導関数も正です。

したがって、区間 $[-1,2]$ 全体で、関数 $f(x)$ の導関数は正になります。これは、関数 $f(x)$ がこの区間で単調増加することを意味します。 Kepe O.? のコレクションからの問題 15.1.9。解決しました。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 15.1.9。与えられた区間 [a, b] における 2 つの関数 f(x) と g(x) の積の積分の値を見つける必要があるということです。この問題を解決するには、長方形法、台形法、シンプソン法などの数学的解析手法を使用する必要があります。

まず、問題ステートメントで指定された関数 f(x) と g(x) を分析し、この場合にどの統合方法を使用するのが最適かを判断する必要があります。次に、選択した方法を適用して積分の値を計算する必要があります。

問題 15.1.9 の解決は非常に複雑になる可能性があるため、数学的分析に関する十分な知識と、さまざまな状況で積分手法を適用できる能力が重要です。

Kepe O.? のコレクションからの問題 15.1.9 の解決策。では、剛性係数 c = 50 N/m の伸ばされていないバネの端に吊り下げられた重量 0.1 kg の物体の振動周期の前半における重力の仕事を決定する必要があります。

初速度なしで物体を解放すると、ばねが平衡位置の周りで振動し始めることが知られています。ばねの振動周期は、式 T = 2π√(m/c) を使用して計算できます。ここで、m は本体質量、c はばねの剛性係数です。

振動周期の前半は、物体が平衡位置を通過し、反対方向に動き始める瞬間に対応します。運動軌跡のこのセクションでは、物体は下向きの重力の作用により減速し、この力の仕事は式 A =​​ mgh で計算されます。ここで、g は自由落下の加速度、h は自由落下の高さです。スプリングの平衡位置に対して本体が上昇した状態。

物体の揚程は、物体とばねを含む機械系のエネルギー保存則から求めることができます。物体は初速度なしで解放されたため、システムの初期位置エネルギーは 0 です。これは、最初の瞬間におけるシステムの総力学的エネルギーが物体の運動エネルギーに等しく、これも 0 に等しいことを意味します。物体が平衡位置を通過する瞬間、物体の運動エネルギーはも 0 に等しく、システムの位置エネルギーは最大で 0.5kh^2 に等しくなります。ここで、k はバネの剛性係数、h - 平衡位置に対するバネの最大変位です。

機械システムのエネルギー保存の法則によれば、ばねの最大変位は方程式 0.5kh^2 = mgh、h = √(2mg/k) から求めることができます。

したがって、振動周期の前半に重力によって行われる仕事は、A = mgh = m に等しくなります。g√(2mg/k)。既知の値を代入すると、A = 9.62 • 10^-3 J が得られます。

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