Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E.

Problém 15.1.9 ze sbírky Kepe O.?. odkazuje na sekci matematické analýzy a má následující podmínku:

"Dokažte, že funkce $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ monotónně roste na intervalu $[-1,2]$."

K vyřešení tohoto problému je nutné analyzovat derivaci funkce $f(x)$ na zadaném intervalu. Pokud je derivace funkce $f'(x)$ kladná na celém intervalu $[-1,2]$, pak to bude znamenat, že funkce $f(x)$ na tomto intervalu monotónně roste.

Vypočítejme derivaci funkce $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Nyní najdeme kořeny této derivace a přirovnáme ji k nule:

$f'(x) = 0 $

$3x^2 - 6x = 0 $

$x(3x - 6) = 0 $

$ x_1 = 0, x_2 = 2 $

Dostaneme dva body, kde je derivace funkce nulová. Na seGmentu $[-1,2]$ zbývají tři intervaly:

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

Z tabulky znamének derivace funkce je vidět, že na intervalu $[-1,0)$ je derivace záporná, na intervalu $(0,2)$ kladná a na intervalu $[2,+\infty)$ derivace je také kladná.

Na celém intervalu $[-1,2]$ je tedy derivace funkce $f(x)$ kladná, což znamená, že funkce $f(x)$ na tomto intervalu monotónně roste. Problém 15.1.9 ze sbírky Kepe O.?. vyřešeno.

***

Problém 15.1.9 ze sbírky Kepe O.?. je, že potřebujete najít hodnotu integrálu součinu dvou funkcí f(x) a g(x) na daném intervalu [a, b]. K řešení tohoto problému je nutné použít metody matematické analýzy, jako je metoda obdélníků, metoda lichoběžníků nebo Simpsonova metoda.

Nejprve musíte analyzovat funkce f(x) a g(x) uvedené v prohlášení o problému a určit, kterou integrační metodu je v tomto případě nejlepší použít. Poté je třeba použít vybranou metodu k výpočtu hodnoty integrálu.

Řešení úlohy 15.1.9 může být poměrně složité, proto je důležité mít dobré znalosti matematické analýzy a schopnost aplikovat integrační metody v různých situacích.

Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.?. vyžaduje stanovení tíhové práce během první poloviny periody kmitu tělesa o hmotnosti 0,1 kg zavěšeného na konci nenatažené pružiny se součinitelem tuhosti c = 50 N/m.

Je známo, že při uvolnění tělesa bez počáteční rychlosti začne pružina kmitat kolem své rovnovážné polohy. Dobu kmitání pružiny lze vypočítat pomocí vzorce T = 2π√(m/c), kde m je hmotnost tělesa, c je koeficient tuhosti pružiny.

První polovina periody kmitání odpovídá okamžiku, kdy těleso projde rovnovážnou polohou a začne se pohybovat opačným směrem. V tomto úseku trajektorie pohybu se těleso působením gravitace směřující dolů zpomaluje a práce této síly se vypočítá podle vzorce A = mgh, kde g je zrychlení volného pádu, h je výška k kterou těleso zvedlo vzhledem k rovnovážné poloze pružiny.

Výšku zdvihu tělesa lze zjistit ze zákona zachování energie mechanického systému včetně tělesa a pružiny. Počáteční potenciální energie systému je 0, protože těleso bylo uvolněno bez počáteční rychlosti. To znamená, že celková mechanická energie soustavy v počátečním časovém okamžiku je rovna kinetické energii tělesa, která je rovněž rovna 0. V okamžiku, kdy těleso prochází rovnovážnou polohou, kinetická energie tělesa je také rovna 0 a potenciální energie systému je maximální a rovna 0,5kh^2, kde k je koeficient tuhosti pružiny, h - maximální posunutí pružiny vzhledem k rovnovážné poloze.

Podle zákona zachování energie mechanického systému lze maximální výchylku pružiny zjistit z rovnice 0,5kh^2 = mgh, kde h = √(2mg/k).

Práce vykonaná gravitací během první poloviny periody oscilace je tedy rovna A = mgh = mg√ (2 mg/k). Dosazením známých hodnot získáme A = 9,62 • 10^-3 J.

***

1. Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. pomohl mi lépe porozumět materiálu o teorii pravděpodobnosti.
2. Děkuji autorovi za jasně strukturované a srozumitelné řešení problému 15.1.9.
3. Řešením úlohy 15.1.9 jsem se mohl bez zbytečných potíží naučit novou látku.
4. Problém 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. byl vyřešen na vysoké úrovni a pomohl mi zlepšit mé dovednosti při řešení problémů.
5. Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. byl jasný a srozumitelný, což mi umožnilo snadno pochopit látku.
6. Vynikající řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. pomohl mi připravit se na zkoušku z teorie pravděpodobnosti.
7. Doporučuji řešení problému 15.1.9 ze sbírky O.E. Kepe. každý, kdo hledá kvalitní a srozumitelný materiál o teorii pravděpodobnosti.

Zvláštnosti:

Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. je vynikajícím průvodcem pro ty, kteří studují matematiku.

Tento digitální produkt vám pomůže snadno a efektivně řešit matematické problémy.

Problém 15.1.9 je skvělý způsob, jak zlepšit své dovednosti při řešení matematických problémů.

Kniha Kepe O.E. je nepostradatelným pomocníkem školáků a studentů při studiu matematiky.

Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. pomáhá pochopit základní principy matematiky a rozvíjet logické myšlení.

Tento digitální produkt poskytuje přístup k užitečným informacím pro ty, kteří chtějí studovat matematiku na vysoké úrovni.

S pomocí Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. můžete se snadno připravit na zkoušky a úspěšně zvládnout matematické úkoly.

Řešení problému 15.1.9 ze sbírky Kepe O.E. velmi jasné a snadno pochopitelné.

Tento digitální produkt mi pomohl lépe porozumět látce a úspěšně složit zkoušku.

Dlouho jsem hledal efektivní způsob, jak zvýšit úroveň svých znalostí, a řešení problémů ze sbírky Kepe O.E. se ukázalo být přesně to, co jsem potřeboval.

Tento digitální produkt je nepostradatelným nástrojem pro každého, kdo studuje matematiku.

Výsledek práce s tímto digitálním produktem mě velmi potěšil.

Řešení problémů ze sbírky Kepe O.E. mi pomohl ušetřit spoustu času a úsilí při přípravě na zkoušky.

Tento digitální produkt poskytuje vynikající materiály pro samostatné studium matematiky.