Lösung zu Aufgabe 15.1.9 aus der Sammlung von Kepe O.E.

AufGabe 15.1.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. bezieht sich auf den Abschnitt der mathematischen Analyse und hat die folgende Bedingung:

„Beweisen Sie, dass die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ im Intervall $[-1,2]$ monoton wachsend ist.“

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Ableitung der Funktion $f(x)$ im angegebenen Intervall zu analysieren. Wenn die Ableitung der Funktion $f'(x)$ im gesamten Intervall $[-1,2]$ positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall monoton ansteigt.

Berechnen wir die Ableitung der Funktion $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Lassen Sie uns nun die Wurzeln dieser Ableitung finden und sie mit Null gleichsetzen:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

Wir erhalten zwei Punkte, an denen die Ableitung der Funktion Null ist. Auf dem Segment $[-1,2]$ sind noch drei Intervalle übrig:

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

Aus der Vorzeichentabelle der Ableitung einer Funktion kann man erkennen, dass auf dem Intervall $[-1,0)$ die Ableitung negativ ist, auf dem Intervall $(0,2)$ die Ableitung positiv ist und auf dem Intervall $[2,+\infty)$ ist die Ableitung ebenfalls positiv.

Somit ist im gesamten Intervall $[-1,2]$ die Ableitung der Funktion $f(x)$ positiv, was bedeutet, dass die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall monoton ansteigt. Aufgabe 15.1.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. gelöst.

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Aufgabe 15.1.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, dass Sie den Wert des Integrals des Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) in einem gegebenen Intervall [a, b] ermitteln müssen. Um dieses Problem zu lösen, müssen Methoden der mathematischen Analyse verwendet werden, beispielsweise die Methode der Rechtecke, die Methode der Trapeze oder die Simpson-Methode.

Zunächst müssen Sie die in der Problemstellung angegebenen Funktionen f(x) und g(x) analysieren und bestimmen, welche Integrationsmethode in diesem Fall am besten geeignet ist. Anschließend müssen Sie die ausgewählte Methode anwenden, um den Wert des Integrals zu berechnen.

Die Lösung von Problem 15.1.9 kann sehr komplex sein, daher ist es wichtig, über gute Kenntnisse der mathematischen Analyse und die Fähigkeit zu verfügen, Integrationsmethoden in verschiedenen Situationen anzuwenden.

Lösung zu Aufgabe 15.1.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. erfordert die Bestimmung der Schwerkraftarbeit während der ersten Hälfte der Schwingungsperiode eines 0,1 kg schweren Körpers, der am Ende einer ungedehnten Feder mit einem Steifigkeitskoeffizienten c = 50 N/m aufgehängt ist.

Es ist bekannt, dass beim Loslassen eines Körpers ohne Anfangsgeschwindigkeit die Feder beginnt, um ihre Gleichgewichtslage zu schwingen. Die Schwingungsdauer der Feder kann mit der Formel T = 2π√(m/c) berechnet werden, wobei m die Körpermasse und c der Federsteifigkeitskoeffizient ist.

Die erste Hälfte der Schwingungsperiode entspricht dem Moment, in dem der Körper die Gleichgewichtslage überschreitet und beginnt, sich in die entgegengesetzte Richtung zu bewegen. In diesem Abschnitt der Bewegungsbahn verlangsamt sich der Körper unter der Wirkung der nach unten gerichteten Schwerkraft, und die Arbeit dieser Kraft wird nach der Formel A = mgh berechnet, wobei g die Beschleunigung des freien Falls und h die Höhe ist die der Körper relativ zur Gleichgewichtslage der Feder angehoben hat.

Die Hubhöhe eines Körpers lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz eines mechanischen Systems, einschließlich eines Körpers und einer Feder, ermitteln. Die anfängliche potentielle Energie des Systems ist 0, da der Körper ohne Anfangsgeschwindigkeit freigesetzt wurde. Dies bedeutet, dass die gesamte mechanische Energie des Systems im Anfangszeitpunkt gleich der kinetischen Energie des Körpers ist, die ebenfalls gleich 0 ist. In dem Moment, in dem der Körper die Gleichgewichtslage durchläuft, ist die kinetische Energie des Körpers gleich ist ebenfalls gleich 0 und die potentielle Energie des Systems ist maximal und gleich 0,5kh^2, wobei k der Federsteifigkeitskoeffizient und h die maximale Verschiebung der Feder relativ zur Gleichgewichtsposition ist.

Gemäß dem Energieerhaltungssatz eines mechanischen Systems kann die maximale Verschiebung der Feder aus der Gleichung 0,5kh^2 = mgh ermittelt werden, wobei h = √(2mg/k).

Somit ist die von der Schwerkraft während der ersten Hälfte der Schwingungsperiode geleistete Arbeit gleich A = mgh = mg√(2 mg/k). Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir A = 9,62 · 10^-3 J.

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