Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E.

Задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.?. се отнася за раздела на математическия анализ и има следното условие:

"Докажете, че функцията $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ е монотонно нарастваща в интервала $[-1,2]$."

За да се реши този проблем, е необходимо да се анализира производната на функцията $f(x)$ на посочения интервал. Ако производната на функцията $f'(x)$ е положителна на целия интервал $[-1,2]$, тогава това ще означава, че функцията $f(x)$ нараства монотонно на този интервал.

Нека изчислим производната на функцията $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Сега нека намерим корените на тази производна, като я приравним към нула:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

Получаваме две точки, където производната на функцията е нула. В сегмента $[-1,2]$ остават три интервала:

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

От таблицата със знаци на производната на функция се вижда, че на интервала $[-1,0)$ производната е отрицателна, на интервала $(0,2)$ производната е положителна, а на интервала $[2,+\infty)$ производната също е положителна.

Така на целия интервал $[-1,2]$ производната на функцията $f(x)$ е положителна, което означава, че функцията $f(x)$ нараства монотонно на този интервал. Задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.?. решен.

***

Задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.?. е, че трябва да намерите стойността на интеграла от произведението на две функции f(x) и ж(x) на даден интервал [a, b]. За да се реши този проблем, е необходимо да се използват методи за математически анализ, като метода на правоъгълниците, метода на трапеца или метода на Симпсън.

Първо, трябва да анализирате функциите f(x) и g(x), посочени в изложението на проблема, и да определите кой метод на интегриране е най-добре да използвате в този случай. След това трябва да приложите избрания метод, за да изчислите стойността на интеграла.

Решаването на задача 15.1.9 може да бъде доста сложно, така че е важно да имате добри познания по математически анализ и способността да прилагате интеграционни методи в различни ситуации.

Решение на задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.?. изисква определяне на работата на гравитацията през първата половина от периода на трептене на тяло с тегло 0,1 kg, окачено на края на неразтегната пружина с коефициент на коравина c = 50 N/m.

Известно е, че когато едно тяло се пусне без начална скорост, пружината започва да се люлее около равновесното си положение. Периодът на трептене на пружината може да се изчисли по формулата T = 2π√(m/c), където m е масата на тялото, c е коефициентът на твърдост на пружината.

Първата половина от периода на трептене съответства на момента, в който тялото премине равновесното положение и започне да се движи в обратна посока. В този участък от траекторията на движение тялото се забавя под действието на гравитацията, насочена надолу, и работата на тази сила се изчислява по формулата A = mgh, където g е ускорението на свободното падане, h е височината до което тялото се е повдигнало спрямо равновесното положение на пружината.

Височината на повдигане на тялото може да се намери от закона за запазване на енергията на механична система, включваща тяло и пружина. Началната потенциална енергия на системата е 0, тъй като тялото е пуснато без начална скорост. Това означава, че пълната механична енергия на системата в началния момент от време е равна на кинетичната енергия на тялото, която също е равна на 0. В момента, в който тялото преминава през равновесно положение, кинетичната енергия на тялото също е равна на 0, а потенциалната енергия на системата е максимална и равна на 0,5kh^2, където k е коефициентът на твърдост на пружината, h - максималното преместване на пружината спрямо равновесното положение.

Съгласно закона за запазване на енергията на механична система, максималното изместване на пружината може да се намери от уравнението 0,5kh^2 = mgh, откъдето h = √(2mg/k).

По този начин работата, извършена от гравитацията през първата половина на периода на трептене, е равна на A = mgh = mg√(2mg/k). Замествайки известните стойности, получаваме A = 9,62 • 10^-3 J.

***

1. Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. ми помогна да разбера по-добре материала по теория на вероятностите.
2. Благодарен съм на автора за ясно структурирано и разбираемо решение на задача 15.1.9.
3. С решаването на задача 15.1.9 успях да науча нов материал без ненужни затруднения.
4. Задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.Е. беше решен на високо ниво и ми помогна да подобря уменията си за решаване на проблеми.
5. Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. беше ясен и разбираем, което ми позволи лесно да разбера материала.
6. Отлично решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. ми помогна да се подготвя за изпита по теория на вероятностите.
7. Препоръчвам решението на задача 15.1.9 от колекцията на О. Е. Кепе. всеки, който търси висококачествен и разбираем материал по теория на вероятностите.

Особености:

Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. е отлично ръководство за тези, които учат математика.

Този дигитален продукт ви помага да решавате лесно и ефективно математически задачи.

Задача 15.1.9 е чудесен начин да подобрите уменията си за решаване на математически задачи.

Книга Kepe O.E. е незаменим помощник за ученици и студенти в изучаването на математика.

Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. помага да се разберат основните принципи на математиката и да се развие логическото мислене.

Този цифров продукт предоставя достъп до полезна информация за тези, които искат да изучават математика на високо ниво.

С помощта на Решение на задача 15.1.9 от сборника на Кепе О.Е. можете лесно да се подготвите за изпити и да се справите успешно с математически задачи.

Решение на задача 15.1.9 от колекцията на Kepe O.E. много ясен и лесен за разбиране.

Този цифров продукт ми помогна да разбера по-добре материала и да издържа успешно изпита.

Отдавна търся ефективен начин да повиша нивото си на знания и да решавам задачи от колекцията на Kepe O.E. се оказа точно това, от което имах нужда.

Този дигитален продукт е незаменим инструмент за всеки, който учи математика.

Бях много доволен от резултата от работата с този дигитален продукт.

Решаване на задачи от сборника на Кепе О.Е. ми помогна да спестя много време и усилия, когато се подготвях за изпити.

Този цифров продукт предоставя отлични материали за самостоятелно изучаване на математика.