Solución al problema 15.1.9 de la colección de Kepe O.E.

Problema 15.1.9 de la colección de Kepe O.?. Se refiere a la sección de análisis matemático y tiene la sigramouiente condición:

"Demuestre que la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ aumenta monótonamente en el intervalo $[-1,2]$".

Para resolver este problema, es necesario analizar la derivada de la función $f(x)$ en el intervalo especificado. Si la derivada de la función $f'(x)$ es positiva en todo el intervalo $[-1,2]$, entonces esto significará que la función $f(x)$ aumenta monótonamente en este intervalo.

Calculemos la derivada de la función $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Ahora encontremos las raíces de esta derivada, equiparándola a cero:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

Obtenemos dos puntos donde la derivada de la función es cero. Quedan tres intervalos en el segmento $[-1,2]$:

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

En la tabla de signos de la derivada de una función se puede ver que en el intervalo $[-1,0)$ la derivada es negativa, en el intervalo $(0,2)$ la derivada es positiva y en el intervalo $[2,+\infty)$ la derivada también es positiva.

Por lo tanto, en todo el intervalo $[-1,2]$ la derivada de la función $f(x)$ es positiva, lo que significa que la función $f(x)$ aumenta monótonamente en este intervalo. Problema 15.1.9 de la colección de Kepe O.?. resuelto.

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Problema 15.1.9 de la colección de Kepe O.?. es que necesitas encontrar el valor de la integral del producto de dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo dado [a, b]. Para resolver este problema es necesario utilizar métodos de análisis matemático, como el método de los rectángulos, el método de los trapecios o el método de Simpson.

Primero, debe analizar las funciones f(x) y g(x) especificadas en el planteamiento del problema y determinar qué método de integración es mejor utilizar en este caso. Luego debes aplicar el método seleccionado para calcular el valor de la integral.

Resolver el problema 15.1.9 puede ser bastante complejo, por lo que es importante tener un buen conocimiento del análisis matemático y la capacidad de aplicar métodos de integración en diversas situaciones.

Solución al problema 15.1.9 de la colección de Kepe O.?. requiere determinar el trabajo de la gravedad durante la primera mitad del período de oscilación de un cuerpo que pesa 0,1 kg suspendido del extremo de un resorte no estirado con un coeficiente de rigidez c = 50 N/m.

Se sabe que cuando se suelta un cuerpo sin velocidad inicial, el resorte comienza a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. El período de oscilación del resorte se puede calcular usando la fórmula T = 2π√(m/c), donde m es la masa del cuerpo, c es el coeficiente de rigidez del resorte.

La primera mitad del período de oscilación corresponde al momento en que el cuerpo pasa la posición de equilibrio y comienza a moverse en la dirección opuesta. En esta sección de la trayectoria del movimiento, el cuerpo se desacelera bajo la acción de la gravedad dirigida hacia abajo, y el trabajo de esta fuerza se calcula mediante la fórmula A = mgh, donde g es la aceleración de caída libre, h es la altura a que el cuerpo se ha elevado con respecto a la posición de equilibrio del resorte.

La altura de elevación de un cuerpo se puede encontrar a partir de la ley de conservación de la energía de un sistema mecánico, que incluye un cuerpo y un resorte. La energía potencial inicial del sistema es 0, ya que el cuerpo fue liberado sin velocidad inicial. Esto significa que la energía mecánica total del sistema en el momento inicial es igual a la energía cinética del cuerpo, que también es igual a 0. En el momento en que el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, la energía cinética del cuerpo también es igual a 0, y la energía potencial del sistema es máxima e igual a 0,5kh^2, donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, h es el desplazamiento máximo del resorte con respecto a la posición de equilibrio.

Según la ley de conservación de la energía de un sistema mecánico, el desplazamiento máximo del resorte se puede encontrar a partir de la ecuación 0,5kh^2 = mgh, de donde h = √(2mg/k).

Por tanto, el trabajo realizado por la gravedad durante la primera mitad del período de oscilación es igual a A = mgh = mg√(2mg/k). Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos A = 9,62 • 10^-3 J.

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