Kepe O.E 컬렉션의 문제 15.1.9에 대한 솔루션입니다.

Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.1.9. 수학적 분석 섹션을 말하며 다음과 같은 조건을 갖습니다.

"$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 함수가 $[-1,2]$ 구간에서 단조롭게 증가한다는 것을 증명하세요."

이 문제를 해결하려면 지정된 구간에서 $f(x)$ 함수의 미분을 분석해야 합니다. $f'(x)$ 함수의 도함수가 전체 구간 $[-1,2]$에서 양수인 경우 이는 $f(x)$ 함수가 이 구간에서 단조롭게 증가한다는 의미입니다.

$f(x)$ 함수의 미분을 계산해 보겠습니다.

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

이제 이 도함수를 0과 동일시하는 근을 찾아보겠습니다.

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 2$

함수의 도함수가 0인 두 점을 얻습니다. $[-1,2]$ 세그먼트에는 3개의 간격이 남아 있습니다.

1. $[-1,0)$
2. $(0,2)$
3. $[2,+\infty)$

함수 도함수의 부호 표에서 $[-1,0)$ 구간에서 도함수가 음수이고 $(0,2)$ 구간에서 도함수가 양수이고 구간에서 도함수가 음수임을 알 수 있습니다. $[2,+\infty)$ 도함수도 양수입니다.

따라서 전체 구간 $[-1,2]$에서 $f(x)$ 함수의 도함수는 양수입니다. 이는 $f(x)$ 함수가 이 구간에서 단조롭게 증가한다는 의미입니다. Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.1.9. 해결되었습니다.

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Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.1.9. 주어진 구간 [a, b]에서 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱의 적분 값을 찾아야 한다는 것입니다. 이 문제를 해결하기 위해서는 직사각형법, 사다리꼴법, 심슨법 등의 수학적 분석방법을 이용할 필요가 있다.

먼저, 문제 설명에 지정된 함수 f(x)와 g(x)를 분석하고 이 경우에 어떤 적분 방법을 사용하는 것이 가장 좋은지 결정해야 합니다. 그런 다음 선택한 방법을 적용하여 적분 값을 계산해야 합니다.

문제 15.1.9를 해결하는 것은 상당히 복잡할 수 있으므로 수학적 분석에 대한 좋은 지식과 다양한 상황에서 적분법을 적용할 수 있는 능력을 갖는 것이 중요합니다.

Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.1.9에 대한 솔루션입니다. 강성 계수 c = 50 N/m인 펴지지 않은 용수철 끝에 매달린 무게 0.1kg의 물체가 진동하는 기간의 전반부 동안 중력이 작용한 일을 결정해야 합니다.

물체가 초기 속도 없이 풀리면 스프링이 평형 위치를 중심으로 진동하기 시작하는 것으로 알려져 있습니다. 스프링의 진동 주기는 T = 2π√(m/c) 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 여기서 m은 체질량이고, c는 스프링 강성 계수입니다.

진동 기간의 전반부는 신체가 평형 위치를 통과하고 반대 방향으로 움직이기 시작하는 순간에 해당합니다. 운동 궤적의 이 부분에서 신체는 아래로 향하는 중력의 작용으로 속도가 느려지고 이 힘의 작용은 공식 A = mgh로 계산됩니다. 여기서 g는 자유 낙하 가속도, h는 높이입니다. 스프링의 평형 위치에 비해 몸체가 상승한 상태입니다.

몸체의 리프팅 높이는 몸체와 스프링을 포함한 기계 시스템의 에너지 보존 법칙으로부터 구할 수 있습니다. 물체가 초기 속도 없이 방출되었기 때문에 시스템의 초기 위치 에너지는 0입니다. 이는 초기 순간에 시스템의 총 기계적 에너지가 신체의 운동 에너지와 동일하며, 이는 또한 0과 같다는 것을 의미합니다. 신체가 평형 위치를 통과하는 순간 신체의 운동 에너지 또한 0과 같고 시스템의 위치 에너지는 최대이고 0.5kh^2와 같습니다. 여기서 k는 스프링 강성 계수이고, h는 평형 위치에 대한 스프링의 최대 변위입니다.

기계 시스템의 에너지 보존 법칙에 따라 스프링의 최대 변위는 방정식 0.5kh^2 = mgh에서 찾을 수 있습니다. 여기서 h = √(2mg/k)입니다.

따라서 진동 주기의 전반부 동안 중력이 한 일은 A = mgh = m과 같습니다.g√(2mg/k). 알려진 값을 대체하면 A = 9.62 • 10^-3 J를 얻습니다.

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