Kepe O.E 收集的问题 15.1.9 的解决方案

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问题 15.1.9 来自 Kepe O.? 的收集。指数学分析部分，并具有以下条件：

“证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在区间 $[-1,2]$ 上单调递增。”

为了解决这个问题，需要分析函数$f(x)$在指定区间上的导数。如果函数 $f'(x)$ 在整个区间 $[-1,2]$ 上的导数为正，则这意味着函数 $f(x)$ 在该区间上单调递增。

让我们计算函数 $f(x)$ 的导数：

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

现在让我们求这个导数的根，将其等于零：

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$x(3x - 6) = 0$

$x_1 = 0，x_2 = 2$

我们得到函数导数为零的两个点。 $[-1,2]$ 段上还剩下三个区间：

$[-1,0)$
$(0,2)$
$[2,+\infty)$

从函数导数的符号表可以看出，在区间$[-1,0)$上导数为负，在区间$(0,2)$上导数为正，在区间 $[2,+\infty)$ 的导数也是正数。

因此，在整个区间 $[-1,2]$ 上，函数 $f(x)$ 的导数为正，这意味着函数 $f(x)$ 在该区间上单调递增。问题 15.1.9 来自 Kepe O.? 的收集。解决了。

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问题 15.1.9 来自 Kepe O.? 的收集。是你需要找到两个函数 f(x) 和 G(x) 在给定区间 [a, b] 上的乘积的积分值。为了解决这个问题，需要使用数学分析的方法，例如矩形法、梯形法或辛普森法。

首先，您需要分析问题陈述中指定的函数 f(x) 和 g(x)，并确定在这种情况下最适合使用哪种积分方法。然后您需要应用所选方法来计算积分值。

解决问题 15.1.9 可能相当复杂，因此掌握数学分析知识以及在各种情况下应用积分方法的能力非常重要。

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Kepe O.? 收集的问题 15.1.9 的解决方案。需要确定悬挂在刚度系数 c = 50 N/m 的未拉伸弹簧末端的重 0.1 kg 的物体在振动周期前半段的重力功。

众所周知，当物体在没有初始速度的情况下被释放时，弹簧开始围绕其平衡位置振荡。弹簧的振荡周期可以使用公式 T = 2π√(m/c) 计算，其中 m 是人体质量，c 是弹簧刚度系数。

振荡周期的前半部分对应于物体通过平衡位置并开始沿相反方向移动的时刻。在这段运动轨迹中，物体在向下的重力作用下减速，这个力的功计算公式为A=mgh，其中g为自由落体的加速度，h为落体的高度。主体相对于弹簧的平衡位置上升。

物体的举升高度可以从包括物体和弹簧的机械系统的能量守恒定律中找到。系统的初始势能为 0，因为物体在没有初始速度的情况下被释放。这意味着系统在初始时刻的总机械能等于物体的动能，也等于0。在物体经过平衡位置的那一刻，物体的动能也等于0，系统势能最大，等于0.5kh^2，其中k为弹簧刚度系数，h——弹簧相对于平衡位置的最大位移。

根据机械系统能量守恒定律，弹簧的最大位移可由方程0.5kh^2 = mgh求得，其中h = √(2mg/k)。

因此，重力在振荡周期前半段所做的功等于 A = mgh = mg√（2mg/k）。代入已知值，我们得到 A = 9.62 • 10^-3 J。

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