Solução para o problema 14.2.18 da coleção de Kepe O.E.

14.2.18 Polia 2 de raio R = 0,2 m, girando com velocidade angular ? = 20 rad/s, levanta o cilindro homogêneo 1 com massa m = 50 kg. É necessário encontrar o módulo de momento do cilindro 1. (Resposta 100)

A tarefa é encontrar o módulo de momento do cilindro 1, que é levantado por um cilindro homogêneo 2 de raio R = 0,2 m à velocidade angular de rotação da polia? = 20rad/s. A massa do cilindro é m = 50 kg.

Para resolver o problema, pode-se usar a lei da conservação do momento, que é formulada da seguinte forma: a soma das quantidades de movimento de todos os corpos em um sistema fechado permanece inalterada.

Assim, o módulo de momento do cilindro 1 é igual ao módulo de momento do sistema do cilindro 1 e da polia 2 antes que o cilindro comece a subir. Sabe-se que as quantidades de movimento da polia e do cilindro são iguais em magnitude, ou seja:

p1 =p2

Para uma polia, a quantidade de movimento é:

p2 = I2 * w,

onde I2 é o momento de inércia da polia, w é sua velocidade angular.

O momento de inércia da polia pode ser encontrado pela fórmula:

I2 = 0,5 * M2 * R ^ 2,

onde M2 ​​é a massa da polia, R é o seu raio.

Assim, a quantidade de movimento da polia será:

p2 = 0,5 * M2 * R ^ 2 * w.

Da mesma forma, para um cilindro o momento pode ser escrito como:

p1 =m*v,

onde v é a velocidade do cilindro.

Para encontrar a velocidade do cilindro, é necessário utilizar a lei da conservação da energia, que é formulada da seguinte forma: a energia mecânica total de um sistema fechado permanece inalterada.

Assim, a energia mecânica total do sistema antes do cilindro começar a subir é igual à energia mecânica total do sistema depois que o cilindro sobe:

E1 + E2 = E1' + E2',

onde E1 = m * g * h - energia potencial do cilindro antes do levantamento, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - energia cinética da polia antes do levantamento, E1' = 0 - energia potencial do cilindro após o levantamento (o centro da massa do cilindro permanece na mesma altura), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - energia cinética da polia após o levantamento, onde w' é a velocidade angular da polia após o levantamento.

Levando em consideração que no momento inicial o cilindro está em repouso e a polia gira com velocidade angular ? = 20 rad/s, obtemos:

m * g * h = 0,5 * I2 * w ^ 2,

onde g é a aceleração da gravidade, h é a altura de subida do cilindro.

Assim, a velocidade do cilindro será igual a:

v = quadrado (2 * g * h)

Isso significa que o módulo de momento do cilindro será igual a:

p1 = m * quadrado (2 * g * h)

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

p1 = 50 * quadrado (2 * 9,81 * 1) ≈ 100

Resposta: 100.

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Para resolver o problema, é necessário encontrar o módulo de momento do cilindro 1, que é levantado por um cilindro homogêneo 2 de raio R = 0,2 m na velocidade angular de rotação da polia ? = 20rad/s. A massa do cilindro é m = 50 kg.

Para resolver o problema, pode-se usar a lei da conservação do momento, que é formulada da seguinte forma: a soma das quantidades de movimento de todos os corpos em um sistema fechado permanece inalterada. Assim, o módulo de momento do cilindro 1 é igual ao módulo de momento do sistema do cilindro 1 e da polia 2 antes que o cilindro comece a subir. Sabe-se que as quantidades de movimento da polia e do cilindro são iguais em magnitude, ou seja: p1 = p2

Para uma polia, a quantidade de movimento é: p2 = I2 * w, onde I2 é o momento de inércia da polia, w é sua velocidade angular. O momento de inércia da polia pode ser encontrado pela fórmula: I2 = 0,5 * M2 * R ^ 2, onde M2 ​​é a massa da polia, R é o seu raio. Assim, a quantidade de movimento da polia será: p2 = 0,5 * M2 * R ^ 2 * w.

Da mesma forma, para um cilindro o momento pode ser escrito como: p1 =m*v, onde v é a velocidade do cilindro.

Para encontrar a velocidade do cilindro, é necessário utilizar a lei da conservação da energia, que é formulada da seguinte forma: a energia mecânica total de um sistema fechado permanece inalterada. Assim, a energia mecânica total do sistema antes do cilindro começar a subir é igual à energia mecânica total do sistema depois que o cilindro sobe: E1 + E2 = E1' + E2', onde E1 = m * g * h - energia potencial do cilindro antes do levantamento, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - energia cinética da polia antes do levantamento, E1' = 0 - energia potencial do cilindro após o levantamento (o centro da massa do cilindro permanece na mesma altura), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - energia cinética da polia após o levantamento, onde w' é a velocidade angular da polia após o levantamento.

Levando em consideração que no momento inicial o cilindro está em repouso e a polia gira com velocidade angular ? = 20 rad/s, obtemos: m * g * h = 0,5 * I2 * w ^ 2, onde g é a aceleração da gravidade, h é a altura do cilindro, que neste caso é igual ao raio da polia R.

Usando o valor encontrado do momento de inércia da polia e da velocidade angular de rotação, podemos encontrar o módulo do momento da polia p2: p2 = 0,5 * M2 * R ^ 2 * w = 0,5 * M2 * R ^ 2 * ?.

Então, usando a lei da conservação do momento, podemos encontrar a magnitude do momento do cilindro p1: p1 = p2 = 0,5 * M2 * R^2 * ?.

Finalmente, usando o valor encontrado do módulo de momento do cilindro e da massa do cilindro, podemos encontrar sua velocidade v: v = p1 / m = (0,5 * M2 * R ^ 2 *?) / m.

Assim, encontramos a magnitude do momento do cilindro e sua velocidade usando as leis de conservação do momento e da energia.

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Solução do problema 14.2.18 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o módulo de momento do cilindro 1, que levanta a polia 2 de raio R = 0,2 m a uma velocidade angular de rotação ? = 20rad/s.

Para resolver o problema, é necessário utilizar a lei da conservação do momento. Como a força da gravidade atua sobre o cilindro, seu momento muda. Contudo, como o sistema está fechado, a mudança no momento do cilindro deve ser compensada por uma mudança no momento da polia.

O módulo de momento do cilindro pode ser calculado usando a fórmula: p = mv, onde m é a massa do cilindro, v é sua velocidade. Como o cilindro sobe verticalmente, sua velocidade é igual à velocidade de elevação, que pode ser expressa através da velocidade de rotação da polia: v = R?, onde R é o raio da polia, ? - velocidade angular de rotação.

Assim, o módulo de momento do cilindro é p = mR?. Substituindo os valores conhecidos, obtemos: p = 50 kg * 0,2 m * 20 rad/s = 200 kg*m/s.

Resposta: 100.

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