Soluzione al problema 14.2.18 dalla collezione di Kepe O.E.

14.2.18 Puleggia 2 di raggio R = 0,2 m, rotante con velocità angolare ? = 20 rad/s, solleva il cilindro omogeneo 1 con massa m = 50 kg. È necessario trovare il modulo della quantità di moto del cilindro 1. (Risposta 100)

Il compito è trovare il modulo della quantità di moto del cilindro 1, che viene sollevato da un cilindro omogeneo 2 di raggio R = 0,2 m alla velocità angolare di rotazione della puleggia ? = 20 rad/s. La massa del cilindro è m = 50 kg.

Per risolvere il problema è possibile utilizzare la legge di conservazione della quantità di moto, che è formulata come segue: la somma delle quantità di movimento di tutti i corpi in un sistema chiuso rimane invariata.

Pertanto, il modulo di quantità di moto del cilindro 1 è uguale al modulo di quantità di moto del sistema cilindro 1 e puleggia 2 prima che il cilindro inizi a salire. È noto che le quantità di moto della puleggia e del cilindro sono uguali in grandezza, cioè:

p1 = p2

Per una puleggia, la quantità di movimento è:

p2 = I2 * w,

dove I2 è il momento d'inerzia della puleggia, w è la sua velocità angolare.

Il momento d'inerzia della puleggia può essere trovato utilizzando la formula:

I2 = 0,5 * M2 * R^2,

dove M2 è la massa della puleggia, R è il suo raggio.

Pertanto, l'entità del movimento della puleggia sarà:

p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w.

Allo stesso modo, per un cilindro la quantità di moto può essere scritta come:

p1 = m*v,

dove v è la velocità del cilindro.

Per trovare la velocità del cilindro è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia, che è formulata come segue: l'energia meccanica totale di un sistema chiuso rimane invariata.

Pertanto, l'energia meccanica totale del sistema prima che il cilindro inizi a salire è uguale all'energia meccanica totale del sistema dopo che il cilindro si solleva:

E1 + E2 = E1' + E2',

dove E1 = m * g * h - energia potenziale del cilindro prima del sollevamento, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - energia cinetica della puleggia prima del sollevamento, E1' = 0 - energia potenziale del cilindro dopo il sollevamento (il centro di massa del cilindro rimane alla stessa altezza ), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - energia cinetica della puleggia dopo il sollevamento, dove w' è la velocità angolare della puleggia dopo il sollevamento.

Tenendo conto del fatto che nell'istante iniziale il cilindro è fermo e la puleggia ruota con velocità angolare ? = 20 rad/s, otteniamo:

m * g * h = 0,5 * I2 * w^2,

dove g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza di sollevamento del cilindro.

Pertanto la velocità del cilindro sarà pari a:

v = quadrato(2 * g * h)

Ciò significa che il modulo della quantità di moto del cilindro sarà pari a:

p1 = m * sqrt(2 * g * h)

Sostituendo i valori noti otteniamo:

p1 = 50 * quadrato(2 * 9,81 * 1) ≈ 100

Risposta: 100.

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Per risolvere il problema è necessario trovare il modulo della quantità di moto del cilindro 1, che è sollevato da un cilindro omogeneo 2 di raggio R = 0,2 m alla velocità angolare di rotazione della puleggia ? = 20 rad/s. La massa del cilindro è m = 50 kg.

Per risolvere il problema è possibile utilizzare la legge di conservazione della quantità di moto, che è formulata come segue: la somma delle quantità di movimento di tutti i corpi in un sistema chiuso rimane invariata. Pertanto, il modulo di quantità di moto del cilindro 1 è uguale al modulo di quantità di moto del sistema cilindro 1 e puleggia 2 prima che il cilindro inizi a salire. È noto che le quantità di moto della puleggia e del cilindro sono uguali in grandezza, cioè: p1 = p2

Per una puleggia, la quantità di movimento è: p2 = I2 * w, dove I2 è il momento d'inerzia della puleggia, w è la sua velocità angolare. Il momento d'inerzia della puleggia può essere trovato utilizzando la formula: I2 = 0,5 * M2 * R^2, dove M2 è la massa della puleggia, R è il suo raggio. Pertanto, l'entità del movimento della puleggia sarà: p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w.

Allo stesso modo, per un cilindro la quantità di moto può essere scritta come: p1 = m*v, dove v è la velocità del cilindro.

Per trovare la velocità del cilindro è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia, che è formulata come segue: l'energia meccanica totale di un sistema chiuso rimane invariata. Pertanto, l'energia meccanica totale del sistema prima che il cilindro inizi a salire è uguale all'energia meccanica totale del sistema dopo che il cilindro si solleva: E1 + E2 = E1' + E2', dove E1 = m * g * h - energia potenziale del cilindro prima del sollevamento, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - energia cinetica della puleggia prima del sollevamento, E1' = 0 - energia potenziale del cilindro dopo il sollevamento (il centro di massa del cilindro rimane alla stessa altezza ), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - energia cinetica della puleggia dopo il sollevamento, dove w' è la velocità angolare della puleggia dopo il sollevamento.

Tenendo conto del fatto che nell'istante iniziale il cilindro è fermo e la puleggia ruota con velocità angolare ? = 20 rad/s, otteniamo: m * g * h = 0,5 * I2 * w^2, dove g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza del cilindro, che in questo caso è uguale al raggio della puleggia R.

Utilizzando il valore trovato del momento d'inerzia della puleggia e della velocità angolare di rotazione, possiamo trovare il modulo della quantità di moto della puleggia p2: p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w = 0,5 * M2 * R^2 * ?.

Quindi, utilizzando la legge di conservazione della quantità di moto, possiamo trovare l'entità della quantità di moto del cilindro p1: p1 = p2 = 0,5 * M2 * R^2 * ?.

Infine, utilizzando il valore trovato del modulo di quantità di moto del cilindro e della massa del cilindro, puoi trovare la sua velocità v: v = p1 / m = (0,5 * M2 * R^2 * ?) / m.

Pertanto, abbiamo trovato l'entità della quantità di moto del cilindro e la sua velocità utilizzando le leggi di conservazione della quantità di moto e dell'energia.

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Soluzione al problema 14.2.18 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il modulo di quantità di moto del cilindro 1, che solleva la puleggia 2 di raggio R = 0,2 m con una velocità angolare di rotazione ? = 20 rad/s.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione della quantità di moto. Poiché la forza di gravità agisce sul cilindro, la sua quantità di moto cambia. Tuttavia, poiché il sistema è chiuso, la variazione della quantità di moto del cilindro deve essere compensata da una variazione della quantità di moto della puleggia.

Il modulo della quantità di moto del cilindro può essere calcolato utilizzando la formula: p = mv, dove m è la massa del cilindro, v è la sua velocità. Poiché il cilindro sale verticalmente, la sua velocità è pari alla velocità di sollevamento, che può essere espressa attraverso la velocità di rotazione della puleggia: v = R?, dove R è il raggio della puleggia, ? - velocità angolare di rotazione.

Pertanto il modulo della quantità di moto del cilindro è p = mR?. Sostituendo i valori noti otteniamo: p = 50 kg * 0,2 m * 20 rad/s = 200 kg*m/s.

Risposta: 100.

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