Kepe O.E. のコレクションからの問題 14.2.18 の解決策。

14.2.18 半径 R = 0.2 m のプーリー 2、角速度 ? で回転= 20 rad/s、質量 m = 50 kg の均質シリンダー 1 を持ち上げます。円柱 1 の運動係数を求める必要があります。(答え 100)

課題は、プーリーの回転角速度 で半径 R = 0.2 m の均質なシリンダー 2 によって持ち上げられるシリンダー 1 の運動量係数を見つけることです。 = 20 ラジアン/秒。シリンダーの質量は m = 50 kg です。

この問題を解決するには、次のように定式化される運動量保存の法則を使用できます。閉じたシステム内のすべての物体の運動量の合計は変化しません。

したがって、シリンダー 1 の運動係数は、シリンダーが上昇し始める前のシリンダー 1 とプーリー 2 からなるシステムの運動係数と等しくなります。プーリーとシリンダーの運動量は大きさが等しいことが知られています。

p1 = p2

プーリーの場合、運動量は次のようになります。

p2 = I2 * w、

ここで、I2 はプーリーの慣性モーメント、w はプーリーの角速度です。

プーリーの慣性モーメントは次の式で求められます。

I2 = 0.5 * M2 * R^2、

ここで、M2 はプーリーの質量、R はプーリーの半径です。

したがって、プーリーの移動量は次のようになります。

p2 = 0.5 * M2 * R^2 * w。

同様に、円柱の場合、運動量は次のように記述できます。

p1 = m * v、

ここで、v はシリンダー速度です。

シリンダーの速度を求めるには、次のように定式化されるエネルギー保存の法則を使用する必要があります。閉じたシステムの総機械エネルギーは変化しません。

したがって、シリンダーが上昇し始める前のシステムの総機械エネルギーは、シリンダーが上昇した後のシステムの総機械エネルギーと等しくなります。

E1 + E2 = E1' + E2'、

ここで、E1 = m * g * h - 持ち上げ前のシリンダーの位置エネルギー、E2 = 0.5 * I2 * w^2 - 持ち上げ前のプーリーの運動エネルギー、E1' = 0 - 持ち上げ後のシリンダーの位置エネルギー (中心シリンダーの質量は同じ高さに留まります)、E2' = 0.5 * I2 * w'^2 - 持ち上げ後のプーリーの運動エネルギー、ここで w' は持ち上げ後のプーリーの角速度です。

最初の瞬間ではシリンダーは停止しており、プーリーは角速度で回転しているという事実を考慮に入れますか? = 20 rad/s の場合、次のようになります。

m * g * h = 0.5 * I2 * w^2、

ここで、g は重力加速度、h は円柱の上昇の高さです。

したがって、シリンダーの速度は次のようになります。

v = sqrt(2 * g * h)

これは、円柱の運動係数が次と等しくなることを意味します。

p1 = m * sqrt(2 * g * h)

既知の値を代入すると、次のようになります。

p1 = 50 * sqrt(2 * 9.81 * 1) ≈ 100

答え: 100。

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この問題を解決するには、プーリーの回転角速度 で半径 R = 0.2 m の均質なシリンダー 2 によって持ち上げられるシリンダー 1 の運動量係数を見つける必要があります。 = 20 ラジアン/秒。シリンダーの質量は m = 50 kg です。

この問題を解決するには、次のように定式化される運動量保存の法則を使用できます。閉じたシステム内のすべての物体の運動量の合計は変化しません。したがって、シリンダー 1 の運動係数は、シリンダーが上昇し始める前のシリンダー 1 とプーリー 2 からなるシステムの運動係数と等しくなります。プーリーとシリンダーの運動量は大きさが等しいことが知られています。 p1 = p2

プーリーの場合、運動量は次のようになります。 p2 = I2 * w、 ここで、I2 はプーリーの慣性モーメント、w はプーリーの角速度です。プーリーの慣性モーメントは次の式で求められます。 I2 = 0.5 * M2 * R^2、 ここで、M2 はプーリーの質量、R はプーリーの半径です。したがって、プーリーの移動量は次のようになります。 p2 = 0.5 * M2 * R^2 * w。

同様に、円柱の場合、運動量は次のように記述できます。 p1 = m * v、 ここで、v はシリンダー速度です。

シリンダーの速度を求めるには、次のように定式化されるエネルギー保存の法則を使用する必要があります。閉じたシステムの総機械エネルギーは変化しません。したがって、シリンダーが上昇し始める前のシステムの総機械エネルギーは、シリンダーが上昇した後のシステムの総機械エネルギーと等しくなります。 E1 + E2 = E1' + E2'、 ここで、E1 = m * g * h - 持ち上げ前のシリンダーの位置エネルギー、E2 = 0.5 * I2 * w^2 - 持ち上げ前のプーリーの運動エネルギー、E1' = 0 - 持ち上げ後のシリンダーの位置エネルギー (中心シリンダーの質量は同じ高さに留まります)、E2' = 0.5 * I2 * w'^2 - 持ち上げ後のプーリーの運動エネルギー、ここで w' は持ち上げ後のプーリーの角速度です。

最初の瞬間ではシリンダーは停止しており、プーリーは角速度で回転しているという事実を考慮に入れますか? = 20 rad/s の場合、次のようになります。 m * g * h = 0.5 * I2 * w^2、 ここで、g は重力加速度、h はシリンダーの高さであり、この場合はプーリー R の半径に等しくなります。

プーリーの慣性モーメントと回転角速度の求められた値を使用して、プーリーの運動量モジュール p2 を求めることができます。 p2 = 0.5 * M2 * R^2 * w = 0.5 * M2 * R^2 * ?。

次に、運動量保存則を使用して、円柱 p1 の運動量の大きさを求めることができます。 p1 = p2 = 0.5 * M2 * R^2 * ?。

最後に、円柱の運動係数と円柱の質量の求められた値を使用して、その速度 v を求めることができます。 v = p1 / m = (0.5 * M2 * R^2 * ?) / m。

したがって、運動量とエネルギーの保存則を使用して、円柱の運動量の大きさと速度を求めました。

***

Kepe O.? のコレクションからの問題 14.2.18 の解決策。半径 R = 0.2 m のプーリー 2 を回転角速度 で持ち上げるシリンダー 1 の運動量係数を決定することにあります。 = 20 ラジアン/秒。

この問題を解決するには、運動量保存則を利用する必要があります。円柱には重力が作用するため、運動量が変化します。ただし、システムは閉じているため、シリンダーの運動量の変化はプーリーの運動量の変化によって補償されなければなりません。

円柱の運動係数は、次の式を使用して計算できます: p = mv、ここで、m はシリンダーの質量、v はその速度です。シリンダーは垂直に上昇するため、その速度は上昇速度に等しく、プーリーの回転速度で表すことができます: v = R?、R はプーリーの半径、? - 回転の角速度。

したがって、円柱の運動係数は p = m です。R?。既知の値を代入すると、p = 50 kg * 0.2 m * 20 rad/s = 200 kg * m/s が得られます。

答え: 100。

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