14.2.18 Poulie 2 de rayon R. = 0,2 m, tournant avec une vitesse angulaire ? = 20 rad/s, soulève le cylindre homogène 1 de masse m = 50 kg. Il faut trouver le module de quantité de mouvement du cylindre 1. (Réponse 100)
La tâche est de trouver le module de quantité de mouvement du cylindre 1, qui est soulevé par un cylindre homogène 2 de rayon R = 0,2 m à la vitesse angulaire de rotation de la poulie ? = 20 rads/s. La masse du cylindre est m = 50 kg.
Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement, qui est formulée comme suit : la somme des quantités de mouvement de tous les corps dans un système fermé reste inchangée.
Ainsi, le module de quantité de mouvement du cylindre 1 est égal au module de quantité de mouvement du système cylindre 1 et poulie 2 avant que le cylindre ne commence à monter. On sait que les quantités de mouvement de la poulie et du cylindre sont égales en grandeur, soit :
p1 = p2
Pour une poulie, la quantité de mouvement est :
p2 = I2 * w,
où I2 est le moment d'inertie de la poulie, w est sa vitesse angulaire.
Le moment d'inertie de la poulie peut être trouvé à l'aide de la formule :
I2 = 0,5 * M2 * R^2,
où M2 est la masse de la poulie, R est son rayon.
Ainsi, la quantité de mouvement de la poulie sera :
p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w.
De même, pour un cylindre, la quantité de mouvement peut s’écrire :
p1 = m * v,
où v est la vitesse du cylindre.
Pour trouver la vitesse du cylindre, il faut utiliser la loi de conservation de l'énergie, qui se formule ainsi : l'énergie mécanique totale d'un système fermé reste inchangée.
Ainsi, l'énergie mécanique totale du système avant que le cylindre ne commence à monter est égale à l'énergie mécanique totale du système après la montée du cylindre :
E1 + E2 = E1' + E2',
où E1 = m * g * h - énergie potentielle du cylindre avant levage, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - énergie cinétique de la poulie avant levage, E1' = 0 - énergie potentielle du cylindre après levage (le centre de la masse du cylindre reste à la même hauteur ), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - énergie cinétique de la poulie après levage, où w' est la vitesse angulaire de la poulie après levage.
Tenir compte du fait qu'à l'instant initial le cylindre est au repos et la poulie tourne avec une vitesse angulaire ? = 20 rad/s, on obtient :
m * g * h = 0,5 * I2 * w^2,
où g est l'accélération de la gravité, h est la hauteur de montée du cylindre.
Ainsi, la vitesse du cylindre sera égale à :
v = carré (2 * g * h)
Cela signifie que le module de quantité de mouvement du cylindre sera égal à :
p1 = m * carré(2 * g * h)
En remplaçant les valeurs connues, on obtient :
p1 = 50 * carré(2 * 9,81 * 1) ≈ 100
Réponse : 100.
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Pour résoudre le problème, il faut trouver le module de quantité de mouvement du cylindre 1, qui est soulevé par un cylindre homogène 2 de rayon R = 0,2 m à la vitesse angulaire de rotation de la poulie ? = 20 rads/s. La masse du cylindre est m = 50 kg.
Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement, qui est formulée comme suit : la somme des quantités de mouvement de tous les corps dans un système fermé reste inchangée. Ainsi, le module de quantité de mouvement du cylindre 1 est égal au module de quantité de mouvement du système cylindre 1 et poulie 2 avant que le cylindre ne commence à monter. On sait que les quantités de mouvement de la poulie et du cylindre sont égales en grandeur, soit : p1 = p2
Pour une poulie, la quantité de mouvement est : p2 = I2 * w, où I2 est le moment d'inertie de la poulie, w est sa vitesse angulaire. Le moment d'inertie de la poulie peut être trouvé à l'aide de la formule : I2 = 0,5 * M2 * R^2, où M2 est la masse de la poulie, R est son rayon. Ainsi, la quantité de mouvement de la poulie sera : p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w.
De même, pour un cylindre, la quantité de mouvement peut s’écrire : p1 = m * v, où v est la vitesse du cylindre.
Pour trouver la vitesse du cylindre, il faut utiliser la loi de conservation de l'énergie, qui se formule ainsi : l'énergie mécanique totale d'un système fermé reste inchangée. Ainsi, l'énergie mécanique totale du système avant que le cylindre ne commence à monter est égale à l'énergie mécanique totale du système après la montée du cylindre : E1 + E2 = E1' + E2', où E1 = m * g * h - énergie potentielle du cylindre avant levage, E2 = 0,5 * I2 * w^2 - énergie cinétique de la poulie avant levage, E1' = 0 - énergie potentielle du cylindre après levage (le centre de la masse du cylindre reste à la même hauteur ), E2' = 0,5 * I2 * w'^2 - énergie cinétique de la poulie après levage, où w' est la vitesse angulaire de la poulie après levage.
Tenir compte du fait qu'à l'instant initial le cylindre est au repos et la poulie tourne avec une vitesse angulaire ? = 20 rad/s, on obtient : m * g * h = 0,5 * I2 * w^2, où g est l'accélération de la gravité, h est la hauteur du cylindre, qui dans ce cas est égale au rayon de la poulie R.
En utilisant la valeur trouvée du moment d'inertie de la poulie et de la vitesse angulaire de rotation, nous pouvons trouver le module du moment de la poulie p2 : p2 = 0,5 * M2 * R^2 * w = 0,5 * M2 * R^2 * ?.
Ensuite, en utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement, nous pouvons trouver la grandeur de la quantité de mouvement du cylindre p1 : p1 = p2 = 0,5 * M2 * R^2 * ?.
Enfin, en utilisant la valeur trouvée du module de quantité de mouvement du cylindre et la masse du cylindre, vous pouvez trouver sa vitesse v : v = p1 / m = (0,5 * M2 * R^2 * ?) / m.
Ainsi, nous avons trouvé l'amplitude de la quantité de mouvement du cylindre et sa vitesse en utilisant les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie.
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Solution au problème 14.2.18 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer le module de quantité de mouvement du cylindre 1, qui soulève la poulie 2 de rayon R = 0,2 m à une vitesse angulaire de rotation ? = 20 rads/s.
Pour résoudre le problème, il faut utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement. Puisque la force de gravité agit sur le cylindre, sa quantité de mouvement change. Cependant, puisque le système est fermé, la variation de la quantité de mouvement du cylindre doit être compensée par une modification de la quantité de mouvement de la poulie.
Le module de quantité de mouvement du cylindre peut être calculé à l'aide de la formule : p = mv, où m est la masse du cylindre, v est sa vitesse. Le vérin s'élevant verticalement, sa vitesse est égale à la vitesse de levage, qui peut s'exprimer par la vitesse de rotation de la poulie : v = R?, où R est le rayon de la poulie, ? - vitesse de rotation angulaire.
Ainsi, le module de quantité de mouvement du cylindre est p = mR?. En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons : p = 50 kg * 0,2 m * 20 rad/s = 200 kg*m/s.
Réponse : 100.
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