IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 9

1番。 4 つのポイントが与えられます: A1(7;5;3)、A2(9;4;4)、A3(4;5;7)、A4(7;9;6)。方程式を作成する必要があります。

a) 平面 A1A2A3 解: 平面 A1A2A3 上にあるベクトル AB1(2;-1;1) と AB2(-3;1;3) は、点 (A2-A1) と ( A3-A1) 。平面 A1A2A3 の法線は、これらのベクトルのベクトル積です: N = AB1 x AB2。 AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) となります。 = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次のようになります。形式は次のとおりです: -5x - 14y - 8z + d = 0 未知の係数 d を見つけるには、任意の点の座標を代入します。たとえば、A1: -57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 平面 A1A2A3 の方程式: -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) 直線 A1A2 の解: 直線 A1A2 の方向ベクトルは、これらの点の座標の差に等しい: (A2-A1) = (2; -1; 1)。点 A1 の座標は既知です。ベクトル形式の直線の方程式: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) 平面 A1A2A3 に垂直な線 A4M 解決策: 点 A4 から目的の線上にある任意の点 M(x,y,z) に引かれたベクトルは、平面 A1A2A3 の法線ベクトルに垂直でなければなりません。平面 A1A2A3 の法線は点 (a) ですでに検出されており、N = (-5; -14; -8) に等しくなります。ベクトル AM = (x-7; y-9; z-6) とします。ベクトル N と AM の垂直性の条件は、それらのスカラー積がゼロに等しいことです: (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 単純化すると、次のようになります: 5x + 14y + 8z - 131 = 0 したがって、直線 A4M の方程式は次のようになります: x = 5t + 7 y = 14t + 9 z = -8t+6

d) 線 A1A2 に平行な線 A3N 解: 線 A1A2 の方向ベクトルは (2; -1; 1) に等しい。直線 A3N の方向ベクトルを求めるには、直線の方向に対応するベクトルが同一直線上にあるという平行線の性質を利用できます。したがって、直線 A3N の方向ベクトルも (2; -1; 1) に等しくなります。点A3の座標は既知です。ベクトル形式の直線の方程式: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) 点 A4 を通過し、線 A1A2 に垂直な平面 解: 点 A4 から目的の平面上の任意の点に引かれるベクトルは、線 A1A2 の方向ベクトルに垂直でなければなりません。したがって、目的の平面の法線はベクトル A1A2 と同一線上になります。法線は、パート (a) にあるベクトル AB1 と AB2 のベクトル積によって取得できます。平面の法線の形式は次のとおりです: N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) 平面方程式の形式は次のとおりです: -5x - 14y - 8z + d = 0 未知の係数 d を求めるには、次のようにします。点A4の座標を代入します: - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 したがって、点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は、 -5x - 14y - 8z + 233 = 0 となります。

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦 解: 平面 A1A2A3 の法線へのベクトル A1A4 の投影を求めます。平面の法線は点 (a) で見つかり、N = (-5; -14; -8) に等しくなります。ベクトル A1A4 は、点 A1 と A4 の座標の差として求められます: (A4-A1) = (0; 4; 3)。ベクトル N と A1A4 のスカラー積は、それらの長さとそれらの間の角度の余弦を乗算した積に等しくなります。したがって、この角度のサインは次のようになります。 sin(angle) = |N x A1A4|/|N||A1A4|ここで |N|と |A1A4| - それぞれベクトル N と A1A4 の長さ。分子を計算してみましょう: N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) 分母を計算します: |N| = sqrt((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = sqrt(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 したがって、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は次と等しくなります。 sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦 解: 座標平面 Oxy は方程式 z = 0 で与えられます。座標平面と平面 A1A2A3 の間の角度は、それらの間の角度として求められます。

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IDZ Ryabushko 3.1 オプション 9 は、数学または物理学のコースワークまたはテストのタスクです。この課題では、平面、直線の方程式の作成、さまざまなオブジェクト間の角度の計算など、幾何学と代数学に関連するさまざまな問題が提示されます。問題の難易度はさまざまで、関連する数学的な概念や公式の知識が必要です。

IDZ Ryabushko 3.1 オプション 9 は数学または物理学のタスクであり、いくつかのポイントで構成されます。このタスクには 4 つの点が与えられ、これらの点を通る直線と平面の方程式を作成し、直線と平面の間の角度の正弦と、直線と平面の間の角度の余弦を求める必要があります。座標面 Oxy と面 A1A2A3。 IDZ Ryabushko 3.1 オプション 9 はデジタル製品であり、数学や物理学の独立した学習に使用できます。

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