リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 8

1.8号。 4 つの点が与えられます: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6)。次の方程式を作成する必要があります。 a) 平面 A1A2A3。 b) ストレート A1A2。 c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M。 ｄ）直線Ａ１Ａ２に平行な直線Ａ３Ｎ。 ｅ）点Ａ４を通り、直線Ａ１Ａ２に垂直な平面。

E) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) 平面 A1A2A3 の方程式を求めるには、平面の一般方程式の公式、Ax + By + Cz + D = 0 を使用する必要があります。まず、ベクトル A1A2 と A1A3 を求めます。

A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)

次に、ベクトル積を求めます。

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

ここで、点 A1 とベクトル n の座標を平面の一般方程式の式に代入してみましょう。

-6x - 10y + 12z + D = 0

D = 66 + 101 - 12*1 = 58

平面の方程式は A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0 です。

b) 直線 A1A2 の方程式を見つけるには、直線の方程式のパラメトリック形式を使用する必要があります: x = x1 + at、y = y1 + bt、z = z1 + ct、ここで (a, b、c) は線の方向ベクトルです。

直線 A1A2 の方向ベクトルは次と等しくなります。

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

この場合、直線 A1A2 の方程式は次の形式になります。

x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t

c) 平面 A1A2A3 に垂直な線 A4M の方程式を見つけるには、ベクトル n に直交するこの線の方向ベクトルを見つける必要があります。つまり、次のようになります。

(а, b, c) * (-6, -10, 12) = 0

したがって、直線 A4M の方向ベクトルは次の形式を持つ必要があります。

(6, -3, -3)

ここで、点 A4(1;2;6) を通過する直線 A4M の方程式を見つけてみましょう。

x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t

d) 線分 A3N は線分 A1A2 に平行であるため、その方向ベクトルは線分 A1A2 の方向ベクトルと同じ座標表記を持つ必要があります。

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

直線 A3N は点 A3(4;2;0) を通過するため、その方程式は次の形式になります。

x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t

e) 点 A4 を通過し、線 A1A2 に垂直な平面の方程式を求めるには、点 a) の公式と同様に、平面の一般方程式の公式を使用できます。直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

目的の平面の方向ベクトルはこのベクトルに対して垂直である必要があるため、その座標から取得したベクトルのうちの 1 つの符号を変更したベクトルを取得することも、その座標とベクトルの間のベクトル積を取得することもできます。たとえば、(1) ,0,0):

(-5、-2、2) または (0、-5、5)

次に、点 A4 の座標と見つかったベクトルを平面の一般方程式の式に代入します。

-5x - 2y + 2z + D = 0 および 0x - 5y + 5z + D = 0

D = 51 - 52 + 5*6 = 23

点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 または 0x - 5y + 5z + 23 = 0。

e) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を求めるには、公式 sin α = |n * l| を使用できます。 / (|n| * |l|)、n は平面の法線ベクトル、l は線の方向ベクトルです。平面 A1A2A3 への法線ベクトルを見つけてみましょう。

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

直線 A1A4 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)

この場合、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は次と等しくなります。

sin α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を求めるには、式 cos α = |n * k| を使用できます。 / (|n| * |k|)、n と k は平面の法線ベクトルです。座標平面 Oxy への法線ベクトルは (0;0;1) の形式を持ち、平面 A1A2A3 への法線ベクトルは点 a) で見つかりました。

n = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)

この場合、平面間の角度の余弦は次のようになります。

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リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 8 は、いくつかの点を含むジオメトリ タスクです。

1. 方程式を見つける: a) 3 つの点 A1(6;1;1)、A2(4;6;6)、および A3(4;2;0) を通過する平面。 b) 点 A1(6;1;1) と A2(4;6;6) を通過する直線。 ｃ）点Ａ４（１；２；６）を通り、３つの点Ａ１、Ａ２、およびＡ３を通る平面に垂直な直線。 ｄ）点Ａ１、Ａ２を通り、点Ａ３を通る直線と平行な直線。 e) 点 A4 を通過し、点 A1 と A2 を通過する線に垂直な平面。

2. 計算： e) 点 A1(6;1;1) および A4(1;2;6) を通過する直線と、3 つの点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の正弦。 g) 座標平面 Oxy と 3 つの点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の余弦。

3. 2 本の平行線を通る平面の方程式と点 P(3;1;–1) のこの平面への投影を求めます。

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