IDZ Ryabushko 3.1 Option 9

N°1. Quatre points sont donnés : A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6). Il faut créer des équations :

a) Plans A1A2A3 Solution : Les vecteurs AB1(2;-1;1) et AB2(-3;1;3) situés sur le plan A1A2A3 peuvent être obtenus comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points (A2-A1) et ( A3-A1) . La normale au plan A1A2A3 est le produit vectoriel de ces vecteurs : N = AB1 x AB2. On obtient : AB1 = A2 - A1 = (9-7 ; 4-5 ; 4-3) = (2 ; -1 ; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7 ; 5-5 ; 7-3) = (-3 ; 0 ; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4 ; -2 - 12 ; -5 - 3) = (-5 ; -14 ; -8) Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme : -5x - 14y - 8z + d = 0 Pour trouver le coefficient inconnu d, remplacez les coordonnées de n'importe quel point, par exemple A1 : -57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 Équation du plan A1A2A3 : -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) Droite A1A2 Solution : Le vecteur direction de la droite A1A2 est égal à la différence des coordonnées de ces points : (A2-A1) = (2 ; -1 ; 1). Les coordonnées du point A1 sont déjà connues. Équation d'une droite sous forme vectorielle : x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 Solution : Un vecteur tracé du point A4 à un point arbitraire M(x,y,z) situé sur la droite désirée doit être perpendiculaire au vecteur normal au plan A1A2A3. La normale au plan A1A2A3 a déjà été trouvée au point (a) et est égale à N = (-5 ; -14 ; -8). Soit le vecteur AM = (x-7 ; y-9 ; z-6). La condition de perpendiculaire des vecteurs N et AM est que leur produit scalaire soit égal à zéro : (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 En simplifiant, on obtient : 5x + 14y + 8z - 131 = 0 Ainsi, l'équation de la droite A4M : x = 5t + 7 y = 14t + 9z = -8t+6

d) La droite A3N parallèle à la droite A1A2 Solution : Le vecteur direction de la droite A1A2 est égal à (2; -1; 1). Pour trouver le vecteur directeur de la droite A3N, vous pouvez utiliser la propriété des droites parallèles : les vecteurs correspondant aux directions des droites sont colinéaires. Ainsi, le vecteur directeur de la droite A3N sera également égal à (2 ; -1 ; 1). Les coordonnées du point A3 sont déjà connues. Équation d'une droite sous forme vectorielle : x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2 Solution : Un vecteur tracé du point A4 à un point arbitraire du plan désiré doit être perpendiculaire au vecteur directeur de la droite A1A2. Par conséquent, la normale au plan souhaité sera colinéaire au vecteur A1A2. La normale peut être obtenue par le produit vectoriel des vecteurs AB1 et AB2 trouvés dans la partie (a). La normale au plan aura la forme : N = AB1 x AB2 = (-5 ; -14 ; -8) L'équation du plan a la forme : -5x - 14y - 8z + d = 0 Pour trouver le coefficient inconnu d, remplacer les coordonnées du point A4 : - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 Ainsi, l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 : -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 Solution : Trouver la projection du vecteur A1A4 sur la normale au plan A1A2A3. La normale au plan a été trouvée au point (a) et est égale à N = (-5 ; -14 ; -8). Le vecteur A1A4 peut être trouvé comme la différence entre les coordonnées des points A1 et A4 : (A4-A1) = (0 ; 4 ; 3). Le produit scalaire des vecteurs N et A1A4 est égal au produit de leurs longueurs multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare. Ainsi, le sinus de cet angle est : sin(angle) = |N x A1A4|/|N||A1A4| où |N| et |A1A4| - longueurs des vecteurs N et A1A4, respectivement. Calculons le numérateur : N x A1A4 = (-5 ; -14 ; -8) x (0 ; 4 ; 3) = (-68 ; 15 ; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) Calculez le dénominateur : |N| = carré((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = carré(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 Ainsi, le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est égal à : sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 Solution : Le plan de coordonnées Oxy peut être donné par l'équation z = 0. L'angle entre le plan de coordonnées et le plan A1A2A3 peut être trouvé comme l'angle entre eux

"IDZ Ryabushko 3.1 Option 9" est un produit numérique qui représente des tâches de résolution de mathématiques dans le cadre du programme. Le produit est destiné aux écoliers et aux étudiants qui étudient les mathématiques. Il contient des devoirs sur divers sujets tels que l'algèbre, la géométrie, la trigonométrie et autres.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 est une tâche pour un cours ou un test de mathématiques ou de physique. Le devoir présente divers problèmes liés à la géométrie et à l'algèbre, comme composer une équation d'un plan, d'une droite, trouver des angles entre divers objets, etc. Les problèmes varient en difficulté et nécessitent une connaissance des concepts et des formules mathématiques pertinents.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 est une tâche en mathématiques ou en physique, qui se compose de plusieurs points. La tâche est confiée à quatre points et il est nécessaire de créer des équations de droites et de plans passant par ces points, ainsi que de trouver le sinus de l'angle entre la droite et le plan, ainsi que le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3. IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 est un produit numérique et peut être utilisé pour une étude indépendante des mathématiques ou de la physique.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 est une tâche pédagogique destinée aux écoliers, réalisée en mathématiques dans le cadre du programme Ryabushko 3.1. L'option 9 fait référence à l'une des nombreuses options pour ce devoir et contient un ensemble spécifique de tâches et d'exercices qui aideront l'étudiant à consolider le matériel sur le sujet concerné. Selon le sujet couvert par cette option, elle peut contenir des tâches sur diverses sections des mathématiques, par exemple l'algèbre, la géométrie, la théorie des probabilités, etc. IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 est destiné au travail indépendant de l'étudiant et peut être utilisé à la fois pour consolider la matière couverte et pour préparer les tests et examens.

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