IDZ Ryabushko 3.1 选项 9

1号。给出四个点：A1(7;5;3)、A2(9;4;4)、A3(4;5;7)、A4(7;9;6)。有必要创建方程：

a) 平面 A1A2A3 解：平面 A1A2A3 上的向量 AB1(2;-1;1) 和 AB2(-3;1;3) 可以通过点 (A2-A1) 和 ( A3-A1）。平面 A1A2A3 的法线是这些向量的向量积：N = AB1 x AB2。我们得到： AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) 因此，平面 A1A2A3 的方程其形式为：-5x - 14y - 8z + d = 0 要找到未知系数 d，请替换任意点的坐标，例如 A1：-57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 平面 A1A2A3 的方程：-5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) 直线A1A2 解： 直线A1A2 的方向向量等于这些点的坐标差：(A2-A1) = (2; -1; 1)。 A1 点的坐标是已知的。向量形式的直线方程： x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) 垂直于平面 A1A2A3 的直线 A4M 解：从点 A4 到位于所需直线上的任意点 M(x,y,z) 绘制的向量必须垂直于平面 A1A2A3 的法向量。平面 A1A2A3 的法线已在点 (a) 处找到，并且等于 N = (-5; -14; -8)。令向量 AM = (x-7; y-9; z-6)。向量 N 和 AM 垂直的条件是它们的标量积等于 0： (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 化简得： 5x + 14y + 8z - 131 = 0 由此，直线 A4M 的方程为： x = 5t + 7 y = 14t + 9 z = -8t+6

d) 线A3N 与线A1A2 平行解： 线A1A2 的方向向量等于(2; -1; 1)。求直线A3N的方向向量，可以利用平行线的性质：直线方向对应的向量共线。因此，直线A3N的方向向量也将等于(2；-1；1)。 A3 点的坐标是已知的。向量形式的直线方程： x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) 过点A4，垂直于直线A1A2 的平面 解：从点A4 到所需平面上任意点所画的向量必须垂直于直线A1A2 的方向向量。因此，所需平面的法线将与矢量 A1A2 共线。法线可以通过(a)部分中找到的向量AB1和AB2的向量积获得。平面法线的形式为： N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) 平面方程的形式为： -5x - 14y - 8z + d = 0 要找到未知系数 d，代入A4点坐标：- 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 因此，经过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面方程为： -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角的正弦 解：求向量 A1A4 在平面 A1A2A3 法线上的投影。平面法线在点 (a) 处找到，等于 N = (-5; -14; -8)。矢量 A1A4 可以通过点 A1 和 A4 的坐标差求得：(A4-A1) = (0; 4; 3)。向量 N 和 A1A4 的标量积等于它们的长度乘以它们之间的角度的余弦值。因此，该角度的正弦为： sin(angle) = |N x A1A4|/|N||A1A4|其中|N|和 |A1A4| - 分别是向量 N 和 A1A4 的长度。我们来计算分子：N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) 计算分母：|N| = sqrt((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = sqrt(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 因此，直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度的正弦等于： sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325））

g) 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间夹角的余弦 解：坐标平面 Oxy 可由方程 z = 0 给出。坐标平面与平面 A1A2A3 之间的夹角可由它们之间的角度求得

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IDZ Ryabushko 3.1 选项9是数学或物理中的任务，由几个点组成。该任务给定四个点，需要创建穿过这些点的直线和平面的方程，并找到直线和平面之间的角度的正弦，以及直线和平面之间的角度的余弦。坐标平面 Oxy 和平面 A1A2A3。 IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 是一款数字产品，可用于数学或物理的独立研究。

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IDZ Ryabushko 3.1 选项 9 是一项针对学童的教育任务，在 Ryabushko 3.1 计划框架内以数学形式完成。选项 9 是指此作业的众多选项之一，包含一组特定的任务和练习，可帮助学生巩固相关主题的材料。根据该选项涵盖的主题，它可能包含数学各个部分的任务，例如代数、几何、概率论等。 IDZ Ryabushko 3.1 选项 9 旨在供学生独立作业，既可用于巩固所涵盖的材料，又可用于准备测试和考试。

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