IDZ Ryabushko 3.1 Opção 9

Nº 1. São atribuídos quatro pontos: A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6). É necessário criar equações:

a) Planos A1A2A3 Solução: Os vetores AB1(2;-1;1) e AB2(-3;1;3) situados no plano A1A2A3 podem ser obtidos como a diferença das coordenadas correspondentes dos pontos (A2-A1) e ( A3-A1) . A normal ao plano A1A2A3 é o produto vetorial destes vetores: N = AB1 x AB2. Obtemos: AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma: -5x - 14y - 8z + d = 0 Para encontrar o coeficiente desconhecido d, substitua as coordenadas de qualquer ponto, por exemplo, A1: -57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 Equação do plano A1A2A3: -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) Reta A1A2 Solução: O vetor direção da reta A1A2 é igual à diferença das coordenadas destes pontos: (A2-A1) = (2; -1; 1). As coordenadas do ponto A1 já são conhecidas. Equação de uma linha reta em forma vetorial: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3 Solução: Um vetor desenhado do ponto A4 até um ponto arbitrário M(x,y,z) situado na reta desejada deve ser perpendicular ao vetor normal ao plano A1A2A3. A normal ao plano A1A2A3 já foi encontrada no ponto (a) e é igual a N = (-5; -14; -8). Seja o vetor AM = (x-7; y-9; z-6). A condição para a perpendicularidade dos vetores N e AM é que seu produto escalar seja igual a zero: (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 Simplificando, obtemos: 5x + 14y + 8z - 131 = 0 Assim, a equação da reta A4M: x = 5t + 7 y = 14t + 9z = -8t+6

d) Linha A3N paralela à linha A1A2 Solução: O vetor direção da linha A1A2 é igual a (2; -1; 1). Para encontrar o vetor de direção da reta A3N, você pode usar a propriedade das retas paralelas: os vetores correspondentes às direções das retas são colineares. Assim, o vetor diretor da reta A3N também será igual a (2; -1; 1). As coordenadas do ponto A3 já são conhecidas. Equação de uma linha reta em forma vetorial: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Um plano passando pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2 Solução: Um vetor traçado do ponto A4 até um ponto arbitrário do plano desejado deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta A1A2. Portanto, a normal ao plano desejado será colinear ao vetor A1A2. A normal pode ser obtida pelo produto vetorial dos vetores AB1 e AB2 encontrado na parte (a). A normal ao plano terá a forma: N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) A equação do plano terá a forma: -5x - 14y - 8z + d = 0 Para encontrar o coeficiente desconhecido d, substitua as coordenadas do ponto A4: - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 Assim, a equação do plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2: -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 Solução: Encontre a projeção do vetor A1A4 na normal ao plano A1A2A3. A normal ao plano foi encontrada no ponto (a) e é igual a N = (-5; -14; -8). O vetor A1A4 pode ser encontrado como a diferença entre as coordenadas dos pontos A1 e A4: (A4-A1) = (0; 4; 3). O produto escalar dos vetores N e A1A4 é igual ao produto de seus comprimentos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Assim, o seno deste ângulo é: sin(ângulo) = |N x A1A4|/|N||A1A4| onde |N| e |A1A4| - comprimentos dos vetores N e A1A4, respectivamente. Vamos calcular o numerador: N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) Calcule o denominador: |N| = quadrado((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = quadrado(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 Assim, o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 é igual a: sin(ângulo) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3 Solução: O plano coordenado Oxy pode ser dado pela equação z = 0. O ângulo entre o plano coordenado e o plano A1A2A3 pode ser encontrado como o ângulo entre eles

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IDZ Ryabushko 3.1 Opção 9 é uma tarefa educacional para crianças em idade escolar, concluída em matemática no âmbito do programa Ryabushko 3.1. A opção 9 refere-se a uma das muitas opções para esta tarefa e contém um conjunto específico de tarefas e exercícios que ajudarão o aluno a consolidar o material sobre o tema relevante. Dependendo do tópico que esta opção cobre, ela pode conter tarefas em várias seções da matemática, por exemplo, álgebra, geometria, teoria das probabilidades, etc. IDZ Ryabushko 3.1 Opção 9 destina-se ao trabalho independente do aluno e pode ser utilizado tanto para consolidar o material abordado quanto para preparação para testes e exames.

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