IDZ Ryabushko 3.1 옵션 9

1위. 4개의 점이 제공됩니다: A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6). 방정식을 작성해야 합니다.

a) 평면 A1A2A3 해법: 평면 A1A2A3에 있는 벡터 AB1(2;-1;1)과 AB2(-3;1;3)는 점 (A2-A1)과 (A2-A1)의 해당 좌표의 차이로 얻을 수 있습니다. A3-A1) . 평면 A1A2A3의 법선은 N = AB1 x AB2 벡터의 벡터 곱입니다. AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) 따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 형식은 -5x - 14y - 8z + d = 0 알 수 없는 계수 d를 찾으려면 임의의 점 좌표를 대체하십시오(예: A1: -5).7 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 평면 A1A2A3의 방정식: -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) 직선 A1A2 해법: 직선 A1A2의 방향 벡터는 다음 점의 좌표 차이와 같습니다: (A2-A1) = (2; -1; 1). A1 지점의 좌표는 이미 알려져 있습니다. 벡터 형식의 직선 방정식: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) 평면 A1A2A3에 수직인 선 A4M 해결책: 점 A4에서 원하는 선 위에 있는 임의의 점 M(x,y,z)까지 그린 벡터는 평면 A1A2A3에 대한 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 평면 A1A2A3에 대한 법선은 이미 점 (a)에서 발견되었으며 N = (-5; -14; -8)과 같습니다. 벡터 AM = (x-7; y-9; z-6)이라고 둡니다. 벡터 N과 AM의 직각성에 대한 조건은 스칼라 곱이 0과 같다는 것입니다. (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 단순화하면 다음을 얻습니다: 5x + 14y + 8z - 131 = 0 따라서 직선 A4M의 방정식은 다음과 같습니다. x = 5t + 7 y = 14t + 9 z = -8t+6

d) 선 A1A2와 평행한 선 A3N 해법: 선 A1A2의 방향 벡터는 (2; -1; 1)과 같습니다. 직선 A3N의 방향 벡터를 찾으려면 평행선의 속성을 사용할 수 있습니다. 직선의 방향에 해당하는 벡터는 동일 선상에 있습니다. 따라서 직선 A3N의 방향 벡터도 (2; -1; 1)과 같습니다. A3 지점의 좌표는 이미 알려져 있습니다. 벡터 형식의 직선 방정식: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면 해결책: 점 A4에서 원하는 평면의 임의의 점까지 그려진 벡터는 선 A1A2의 방향 벡터에 수직이어야 합니다. 따라서 원하는 평면에 대한 법선은 벡터 A1A2와 동일선상에 있습니다. 법선은 (a) 부분에서 찾은 벡터 AB1과 AB2의 벡터 곱으로 얻을 수 있습니다. 평면에 대한 법선의 형식은 다음과 같습니다: N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) 평면 방정식의 형식: -5x - 14y - 8z + d = 0 미지의 계수 d를 찾으려면, A4 지점의 좌표를 대체합니다: - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 따라서 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같습니다. -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도 사인 해법: 벡터 A1A4를 평면 A1A2A3의 법선에 투영한 값을 구하십시오. 평면의 법선은 점 (a)에서 발견되었으며 N = (-5; -14; -8)과 같습니다. 벡터 A1A4는 점 A1과 A4의 좌표 간의 차이로 찾을 수 있습니다: (A4-A1) = (0; 4; 3). 벡터 N과 A1A4의 스칼라 곱은 벡터 길이에 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다. 따라서 이 각도의 사인은 다음과 같습니다. sin(angle) = |N x A1A4|/|N||A1A4| 여기서 |N| 그리고 |A1A4| - 벡터 N과 A1A4의 길이. 분자를 계산해 봅시다: N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) 분모 계산: |N| = sqrt((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = sqrt(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 따라서 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인은 다음과 같습니다. sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인 풀이: 좌표 평면 Oxy는 방정식 z = 0으로 주어질 수 있습니다. 좌표 평면과 평면 A1A2A3 사이의 각도는 둘 사이의 각도로 찾을 수 있습니다.

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IDZ Ryabushko 3.1 옵션 9는 여러 점으로 구성된 수학 또는 물리학 작업입니다. 작업에는 4개의 점이 주어지며 이 점을 통과하는 직선과 평면의 방정식을 작성하고 직선과 평면 사이의 각도의 사인과 두 점 사이의 각도의 코사인을 구해야 합니다. 좌표 평면 Oxy 및 평면 A1A2A3. IDZ Ryabushko 3.1 옵션 9는 디지털 제품이며 수학 또는 물리학의 독립적인 학습에 사용할 수 있습니다.

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