IDZ Ryabushko 3.1 Opción 9

N° 1. Se dan cuatro puntos: A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6). Es necesario crear ecuaciones:

a) Planos A1A2A3 Solución: Los vectores AB1(2;-1;1) y AB2(-3;1;3) que se encuentran en el plano A1A2A3 se pueden obtener como la diferencia de las coordenadas correspondientes de los puntos (A2-A1) y ( A3-A1). La normal al plano A1A2A3 es el producto vectorial de estos vectores: N = AB1 x AB2. Obtenemos: AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma: -5x - 14y - 8z + d = 0 Para encontrar el coeficiente d desconocido, sustituye las coordenadas de cualquier punto, por ejemplo, A1: -57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 Ecuación del plano A1A2A3: -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) Recta A1A2 Solución: El vector director de la recta A1A2 es igual a la diferencia de coordenadas de estos puntos: (A2-A1) = (2; -1; 1). Ya se conocen las coordenadas del punto A1. Ecuación de una recta en forma vectorial: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Línea A4M perpendicular al plano A1A2A3 Solución: Un vector dibujado desde el punto A4 a un punto arbitrario M(x,y,z) que se encuentra en la línea deseada debe ser perpendicular al vector normal al plano A1A2A3. La normal al plano A1A2A3 ya se ha encontrado en el punto (a) y es igual a N = (-5; -14; -8). Sea el vector AM = (x-7; y-9; z-6). La condición para la perpendicularidad de los vectores N y AM es que su producto escalar sea igual a cero: (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 Simplificando, obtenemos: 5x + 14y + 8z - 131 = 0 Así, la ecuación de la recta A4M: x = 5t + 7 y = 14t + 9z = -8t+6

d) Línea A3N paralela a la línea A1A2 Solución: El vector director de la línea A1A2 es igual a (2; -1; 1). Para encontrar el vector dirección de la recta A3N, puede utilizar la propiedad de las rectas paralelas: los vectores correspondientes a las direcciones de las rectas son colineales. Por tanto, el vector director de la recta A3N también será igual a (2; -1; 1). Ya se conocen las coordenadas del punto A3. Ecuación de una recta en forma vectorial: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Un plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2 Solución: Un vector dibujado desde el punto A4 hasta un punto arbitrario del plano deseado debe ser perpendicular al vector director de la recta A1A2. Por tanto, la normal al plano deseado será colineal al vector A1A2. La normal se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores AB1 y AB2 encontrado en el inciso (a). La normal al plano tendrá la forma: N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) La ecuación del plano tiene la forma: -5x - 14y - 8z + d = 0 Para encontrar el coeficiente desconocido d, sustituir las coordenadas del punto A4: - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 Así, la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2: -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) Seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 Solución: Encuentre la proyección del vector A1A4 sobre la normal al plano A1A2A3. La normal al plano se encontró en el punto (a) y es igual a N = (-5; -14; -8). El vector A1A4 se puede encontrar como la diferencia entre las coordenadas de los puntos A1 y A4: (A4-A1) = (0; 4; 3). El producto escalar de los vectores N y A1A4 es igual al producto de sus longitudes multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. Así, el seno de este ángulo es: sin(ángulo) = |N x A1A4|/|N||A1A4| donde |norte| y |A1A4| - longitudes de los vectores N y A1A4, respectivamente. Calculemos el numerador: N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) Calcula el denominador: |N| = raíz cuadrada ((-5) ^ 2 + (-14) ^ 2 + (-8) ^ 2) = raíz cuadrada (325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 Así, el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual a: sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) Coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3 Solución: El plano coordenado Oxy puede estar dado por la ecuación z = 0. El ángulo entre el plano coordenado y el plano A1A2A3 se puede encontrar como el ángulo entre ellos

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IDZ Ryabushko 3.1 Opción 9 es una tarea de matemáticas o física, que consta de varios puntos. La tarea tiene cuatro puntos y es necesario crear ecuaciones de rectas y planos que pasan por estos puntos, así como encontrar el seno del ángulo entre la recta y el plano, así como el coseno del ángulo entre los plano de coordenadas Oxy y el plano A1A2A3. IDZ Ryabushko 3.1 Opción 9 es un producto digital y se puede utilizar para el estudio independiente de matemáticas o física.

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