IDZ Ryabushko 3.1 Option 9

Nr. 1. Es werden vier Punkte vergeben: A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Ebenen A1A2A3 Lösung: Die auf der Ebene A1A2A3 liegenden Vektoren AB1(2;-1;1) und AB2(-3;1;3) können als Differenz der entsprechenden Koordinaten der Punkte (A2-A1) und ( A3-A1) . Die Normale zur Ebene A1A2A3 ist das Vektorprodukt dieser Vektoren: N = AB1 x AB2. Wir erhalten: AB1 = A2 - A1 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) AB2 = A3 - A1 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4) N = AB1 x AB2 = (-1 - 4; -2 - 12; -5 - 3) = (-5; -14; -8) Somit ergibt sich die Gleichung der Ebene A1A2A3 hat die Form: -5x - 14y - 8z + d = 0 Um den unbekannten Koeffizienten d zu finden, ersetzen Sie die Koordinaten eines beliebigen Punktes, zum Beispiel A1: -57 - 145 - 8*3 + d = 0 d = 131 Gleichung der Ebene A1A2A3: -5x - 14y - 8z + 131 = 0

b) Gerade A1A2 Lösung: Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 ist gleich der Differenz der Koordinaten dieser Punkte: (A2-A1) = (2; -1; 1). Die Koordinaten des Punktes A1 sind bereits bekannt. Gleichung einer Geraden in Vektorform: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Linie A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 Lösung: Ein Vektor, der von Punkt A4 zu einem beliebigen Punkt M(x,y,z) gezogen wird, der auf der gewünschten Linie liegt, muss senkrecht zum Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 stehen. Die Normale zur Ebene A1A2A3 wurde bereits in Punkt (a) gefunden und ist gleich N = (-5; -14; -8). Sei der Vektor AM = (x-7; y-9; z-6). Die Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren N und AM ist, dass ihr Skalarprodukt gleich Null ist: (-5)(x-7) + (-14)(y-9) + (-8)*(z-6) = 0 Vereinfacht erhalten wir: 5x + 14y + 8z - 131 = 0 Somit lautet die Gleichung der Geraden A4M: x = 5t + 7 y = 14t + 9 z = -8t+6

d) Linie A3N parallel zur Linie A1A2 Lösung: Der Richtungsvektor der Linie A1A2 ist gleich (2; -1; 1). Um den Richtungsvektor der Geraden A3N zu ermitteln, können Sie die Eigenschaft paralleler Linien nutzen: Vektoren, die den Richtungen von Geraden entsprechen, sind kollinear. Somit ist der Richtungsvektor der Geraden A3N ebenfalls gleich (2; -1; 1). Die Koordinaten des Punktes A3 sind bereits bekannt. Gleichung einer Geraden in Vektorform: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft. Lösung: Ein Vektor, der von Punkt A4 zu einem beliebigen Punkt auf der gewünschten Ebene gezogen wird, muss senkrecht zum Richtungsvektor der Linie A1A2 sein. Daher ist die Normale zur gewünschten Ebene kollinear zum Vektor A1A2. Die Normale kann durch das Vektorprodukt der in Teil (a) gefundenen Vektoren AB1 und AB2 erhalten werden. Die Normale zur Ebene hat die Form: N = AB1 x AB2 = (-5; -14; -8) Die Ebenengleichung hat die Form: -5x - 14y - 8z + d = 0 Um den unbekannten Koeffizienten d zu finden, Ersetzen Sie die Koordinaten von Punkt A4: - 57 - 149 - 8*6 + d = 0 d = 233 Somit lautet die Gleichung der Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: -5x - 14y - 8z + 233 = 0

f) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 Lösung: Finden Sie die Projektion des Vektors A1A4 auf die Normale zur Ebene A1A2A3. Die Normale zur Ebene wurde in Punkt (a) gefunden und ist gleich N = (-5; -14; -8). Der Vektor A1A4 kann als Differenz zwischen den Koordinaten der Punkte A1 und A4 ermittelt werden: (A4-A1) = (0; 4; 3). Das Skalarprodukt der Vektoren N und A1A4 ist gleich dem Produkt ihrer Längen multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Somit ist der Sinus dieses Winkels: sin(Winkel) = |N x A1A4|/|N||A1A4| wobei |N| und |A1A4| - Längen der Vektoren N bzw. A1A4. Berechnen wir den Zähler: N x A1A4 = (-5; -14; -8) x (0; 4; 3) = (-68; 15; 20) |N x A1A4| = sqrt((-68)^2 + 15^2 + 20^2) = sqrt(4819) Berechnen Sie den Nenner: |N| = sqrt((-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2) = sqrt(325) |A1A4| = sqrt(0^2 + 4^2 + 3^2) = 5 Somit ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich: sin(angle) = sqrt(4819)/(5*sqrt( 325))

g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 Lösung: Die Koordinatenebene Oxy kann durch die Gleichung z = 0 angegeben werden. Der Winkel zwischen der Koordinatenebene und der Ebene A1A2A3 kann als Winkel zwischen ihnen ermittelt werden

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 ist eine Aufgabe für eine Studienarbeit oder einen Test in Mathematik oder Physik. Die Aufgabe stellt verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Geometrie und Algebra dar, z. B. das Aufstellen einer Gleichung einer Ebene, einer geraden Linie, das Finden von Winkeln zwischen verschiedenen Objekten usw. Die Probleme variieren in ihrem Schwierigkeitsgrad und erfordern Kenntnisse der relevanten mathematischen Konzepte und Formeln.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 ist eine Aufgabe in Mathematik oder Physik, die aus mehreren Punkten besteht. Die Aufgabe besteht aus vier Punkten und es ist notwendig, Gleichungen für Geraden und Ebenen zu erstellen, die durch diese Punkte verlaufen, sowie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden und der Ebene sowie den Kosinus des Winkels zwischen zu ermitteln Koordinatenebene Oxy und die Ebene A1A2A3. IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 ist ein digitales Produkt und kann zum selbstständigen Lernen von Mathematik oder Physik verwendet werden.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 ist eine pädagogische Aufgabe für Schüler, die im Rahmen des Ryabushko 3.1-Programms in Mathematik bearbeitet wird. Option 9 bezieht sich auf eine der vielen Optionen dieser Aufgabe und enthält eine Reihe spezifischer Aufgaben und Übungen, die dem Studierenden helfen, den Stoff zum jeweiligen Thema zu festigen. Je nachdem, welches Thema diese Option abdeckt, kann sie Aufgaben zu verschiedenen Bereichen der Mathematik enthalten, zum Beispiel Algebra, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie usw. IDZ Ryabushko 3.1 Option 9 ist für die selbstständige Arbeit des Studierenden gedacht und kann sowohl zur Festigung des behandelten Stoffes als auch zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen genutzt werden.

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