IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 7

N. 1. Dati quattro punti A1(5;5;4); A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1). È necessario creare equazioni:

a) Trova i vettori AB1 = A1 - A2 e AC1 = A1 - A3:

AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)

Allora il prodotto vettoriale di AB1 e AC1 darà il vettore normale del piano:

n1 = AB1 x AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)

Troviamo ora il coefficiente D del piano sostituendo le coordinate del punto A1:

18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0

Per semplificare:

6x - 4y + 2z - 2 = 0

Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma: 6x - 4y + 2z - 2 = 0.

b) L'equazione della retta A1A2 si trova utilizzando l'equazione parametrica della retta:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) Trovare il vettore della linea A4M, dove M è un punto arbitrario sulla linea perpendicolare desiderata. Prendiamo, ad esempio, M(0;0;0):

AM = M - A4 = (-5; -8; 1) Allora il vettore desiderato sarà uguale alla proiezione di AM sul vettore normale del piano A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)

Quindi l'equazione della linea desiderata ha la forma:

x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t

d) Poiché la retta A3N è parallela alla retta A1A2, il suo vettore direzione sarà uguale ad AB1:

AB1 = (4; 6; 0)

Troviamo l'equazione della retta A3N utilizzando l'equazione parametrica:

x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1

e) L'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 può essere trovata anche come equazione del piano A1A2A3, utilizzando un vettore normale uguale alla proiezione del vettore A4A1 sul piano descritto dalla linea A1A2:

AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)

proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)

Quindi il vettore normale del piano desiderato sarà uguale a:

n2 = proj_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)

Troviamo ora il coefficiente D del piano sostituendo le coordinate del punto A4:

(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0

Per semplificare:

-27x + 18y + 24z - 64 = 0

Pertanto, l'equazione del piano desiderato ha la forma: -27x + 18y + 24z - 64 = 0.

f) Trovare il vettore direzione della retta A1A4:

AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)

Allora il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 e dal piano A1A2A3 è uguale alla proiezione del vettore AA4 sul vettore normale del piano, diviso per il modulo del vettore AA4:

sin(angolo) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / quadrato(0^2 + 3^2 + (-5)^2) / quadrato(18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -29/11

Risposta: sin(angolo) = -11/29.

g) Trovare il vettore normale del piano A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8)

Allora il coseno dell'angolo formato dal piano A1A2A3 e dal piano delle coordinate Oxy è uguale alla proiezione del vettore normale del piano sull'asse Ox, diviso per il modulo del vettore normale:

cos(angolo) = |proj_n1_Ox| / |n1| = |18| /qrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7

Risposta: cos(angolo) = 3/7.

N. 2. È necessario creare un'equazione per un piano passante per il punto A(3;4;0) e una retta definita da equazioni parametriche:

x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t

Troviamo il vettore direttrice della retta:

v = (1; -2; 3)

Quindi il vettore normale del piano sarà perpendicolare al vettore v e puoi trovarlo prendendo il prodotto vettoriale con un vettore arbitrario, ad esempio con il vettore (1; 0; 0):

n = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)

Troviamo ora il coefficiente D del piano sostituendo le coordinate del punto A:

-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0

Per semplificare:

-2x - 3y - 2z + 18 = 0

Pertanto, l'equazione del piano desiderato ha la forma: -2x - 3y - 2z + 18 = 0.

Numero 3. È necessario trovare il punto di intersezione della linea specificata dalle equazioni parametriche:

x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t

e piani 2x + 3y + z - 1 = 0.

Si noti che le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare l'equazione del piano

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