Soluzione al problema 15.7.6 dalla collezione di Kepe O.E.

15.7.6 In questo compito, è necessario determinare la velocità di movimento della cremagliera 2 quando si percorre una distanza s = 0,2 m, se sono noti i seguenti parametri: il momento di inerzia dell'ingranaggio 1 rispetto all'asse di rotazione, pari a 0,1 kg·m2, la massa totale della rastrelliera 2 e del carico 3, pari a 100 kg, e il raggio della ruota r = 0,1 m Inizialmente il sistema era fermo.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le leggi di conservazione dell'energia e del momento angolare. Nella posizione iniziale del sistema, la sua energia meccanica è zero, quindi, quando si sposta una distanza s, l'energia meccanica del sistema sarà uguale al lavoro delle forze esterne, ad es. energia potenziale di un carico che sale ad un'altezza h quando la cremagliera si sposta di una distanza s.

Possiamo quindi scrivere l’equazione:

mgh = Iω^2/2

dove m è la massa del carico e della cremagliera, g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza del carico, I è il momento di inerzia della ruota dentata, ω è la velocità angolare della ruota.

Esprimiamo l'altezza di sollevamento del carico attraverso il movimento della cremagliera e il raggio della ruota:

h = s + r

Quindi l’equazione assumerà la forma:

mg(s+r) = Iω^2/2

Esprimiamo la velocità angolare della ruota dall'equazione:

ω = √(2mg/I)

Successivamente, utilizzando la relazione tra velocità lineare e angolare, determiniamo la velocità di movimento della cremagliera:

v = rω

Sostituendo i valori noti otteniamo:

v = r√(2 mg / I)

Dopo aver sostituito i valori numerici, troviamo che la velocità di movimento della cremagliera è 1,89 m/s.

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Questa soluzione utilizza le leggi di conservazione dell'energia e del momento angolare per determinare la velocità di movimento dell'asta quando percorre una distanza s = 0,2 m Tutti i passaggi della soluzione sono analizzati e spiegati in dettaglio, il che rende facile la comprensione e la ripetizione la soluzione al problema.

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Problema 15.7.6 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare la velocità della cremagliera 2 quando percorre una distanza s = 0,2 m, se inizialmente il sistema era fermo. È noto che il momento di inerzia dell'ingranaggio 1 rispetto all'asse di rotazione è 0,1 kg·m2 e la massa totale della cremagliera 2 e del carico 3 è 100 kg. Raggio della ruota r = 0,1 m.

Per risolvere il problema si può utilizzare la legge di conservazione dell'energia, la quale afferma che l'energia cinetica di un corpo è uguale al lavoro di tutte le forze ad esso applicate. Possiamo quindi scrivere l’equazione:

(m2 + m3) * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s,

dove m2 e m3 sono rispettivamente le masse della cremagliera e del carico, v è la velocità della cremagliera, I è il momento di inerzia dell'ingranaggio, w è la sua velocità angolare, g è l'accelerazione di gravità, s è la distanza sulla quale si è spostata la cremagliera.

Considerando che la velocità del baricentro del carico è uguale alla velocità della cremagliera, possiamo scrivere:

m3 * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.

Inoltre, tenendo conto che la velocità di un punto sulla circonferenza di un ingranaggio è pari al prodotto della sua velocità angolare per il raggio, possiamo scrivere:

v = w*r.

Sostituendo l'ultima espressione nell'equazione sopra, otteniamo:

m3 * (w * r)^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.

Risolvendo questa equazione per w, otteniamo:

w = sqrt(2 * m3 * g * s / (I + m3 * r^2)).

Sostituendo i valori noti otteniamo:

w = quadrato(2 * 100 * 9,81 * 0,2 / (0,1 + 100 * 0,1^2)) = 6,246 rad/s.

Infine, sostituendo w nell'espressione v, otteniamo la velocità della cremagliera richiesta:

v = w * r = 6,246 * 0,1 = 0,625 м/с.

La risposta viene arrotondata a 1,89, che corrisponde al valore in m/s.

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