Solução para o problema 15.7.6 da coleção de Kepe O.E.

15.7.6 Nesta tarefa, é necessário determinar a velocidade de movimento da cremalheira 2 ao percorrer uma distância s = 0,2 m, se forem conhecidos os seguintes parâmetros: o momento de inércia da engrenagem 1 em relação ao eixo de rotação, igual para 0,1 kg•m2, a massa total da cremalheira 2 e da carga 3, igual a 100 kg, e o raio da roda r = 0,1 m. Inicialmente o sistema estava em repouso.

Para resolver o problema é necessário utilizar as leis de conservação de energia e momento angular. Na posição inicial do sistema, sua energia mecânica é zero, portanto, ao percorrer uma distância s, a energia mecânica do sistema será igual ao trabalho das forças externas, ou seja, energia potencial de uma carga que atinge uma altura h quando a cremalheira se move uma distância s.

Assim, podemos escrever a equação:

mgh = Iω ^ 2/2

onde m é a massa da carga e da cremalheira, g é a aceleração da gravidade, h é a altura da carga, I é o momento de inércia da roda dentada, ω é a velocidade angular da roda.

Expressemos a altura de elevação da carga através do movimento da cremalheira e do raio da roda:

h = s + r

Então a equação assumirá a forma:

mg(s+r) = Iω^2/2

Vamos expressar a velocidade angular da roda a partir da equação:

ω = √(2mgs/I)

A seguir, usando a relação entre a velocidade linear e angular, determinamos a velocidade de movimento da cremalheira:

v = rω

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

v = r√(2mgs/I)

Após substituir os valores numéricos, descobrimos que a velocidade de movimento da cremalheira é de 1,89 m/s.

Solução do problema 15.7.6 da coleção de Kepe O.?.

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Esta solução utiliza as leis de conservação de energia e momento angular para determinar a velocidade de movimento da haste ao percorrer uma distância s = 0,2 m. Todas as etapas da solução são analisadas e explicadas detalhadamente, o que facilita a compreensão e a repetição a solução para o problema.

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Problema 15.7.6 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar a velocidade da cremalheira 2 quando ela percorre uma distância s = 0,2 m, se inicialmente o sistema estava em repouso. Sabe-se que o momento de inércia da engrenagem 1 em relação ao eixo de rotação é de 0,1 kg•m2, e a massa total da cremalheira 2 e da carga 3 é de 100 kg. Raio da roda r = 0,1 m.

Para resolver o problema, pode-se usar a lei da conservação da energia, que afirma que a energia cinética de um corpo é igual ao trabalho de todas as forças aplicadas a ele. Assim, podemos escrever a equação:

(m2 + m3) * v ^ 2/2 = I * w ^ 2/2 + m3 * g * s,

onde m2 e m3 são as massas da cremalheira e da carga, respectivamente, v é a velocidade da cremalheira, I é o momento de inércia da engrenagem, w é sua velocidade angular, g é a aceleração da gravidade, s é o distância sobre a qual o rack se moveu.

Considerando que a velocidade do centro de massa da carga é igual à velocidade da cremalheira, podemos escrever:

m3 * v ^ 2/2 = I * w ^ 2/2 + m3 * g * s.

Além disso, levando em consideração que a velocidade de um ponto na circunferência de uma engrenagem é igual ao produto de sua velocidade angular e seu raio, podemos escrever:

v = w * r.

Substituindo a última expressão na equação acima, obtemos:

m3 * (w * r)^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.

Resolvendo esta equação para w, obtemos:

w = sqrt(2 * m3 * g * s / (I + m3 * r^2)).

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

w = sqrt(2 * 100 * 9,81 * 0,2 / (0,1 + 100 * 0,1 ^ 2)) = 6,246 rad/s.

Finalmente, substituindo w na expressão por v, obtemos a velocidade de cremalheira necessária:

v = w * r = 6,246 * 0,1 = 0,625 m/с.

A resposta é arredondada para 1,89, que corresponde ao valor em m/s.

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