15.7.6 En esta tarea, es necesario determinar la velocidad de movimiento de la cremallera 2 al recorrer una distancia s = 0,2 m, si se conocen los siguientes parámetros: el momento de inercia del engranaje 1 con respecto al eje de rotación, igual a 0,1 kg·m2, la masa total del bastidor 2 y la carga 3, igual a 100 kg, y el radio de la rueda r = 0,1 m. Inicialmente, el sistema estaba en reposo.
Para resolver el problema es necesario utilizar las leyes de conservación de la energía y del momento angular. En la posición inicial del sistema, su energía mecánica es cero, por lo tanto, cuando se mueve una distancia s, la energía mecánica del sistema será igual al trabajo de fuerzas externas, es decir. Energía potencial de una carga que se eleva a una altura h cuando el estante se mueve una distancia s.
Así, podemos escribir la ecuación:
mgh = Iω^2/2
donde m es la masa de la carga y la cremallera, g es la aceleración de la gravedad, h es la altura de la carga, I es el momento de inercia de la rueda dentada, ω es la velocidad angular de la rueda.
Expresemos la altura de elevación de la carga a través del movimiento de la cremallera y el radio de la rueda:
h = s + r
Entonces la ecuación tomará la forma:
mg(s+r) = Iω^2/2
Expresemos la velocidad angular de la rueda a partir de la ecuación:
ω = √(2mg/I)
A continuación, utilizando la relación entre velocidad lineal y angular, determinamos la velocidad de movimiento de la cremallera:
v = rω
Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:
v = r√(2mg/I)
Después de sustituir los valores numéricos encontramos que la velocidad de movimiento de la cremallera es de 1,89 m/s.
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Esta solución utiliza las leyes de conservación de la energía y el momento angular para determinar la velocidad de movimiento de la varilla cuando recorre una distancia s = 0,2 m. Todos los pasos de la solución se analizan y explican en detalle, lo que la hace fácil de entender y repetir. la solución al problema.
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Problema 15.7.6 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar la velocidad de la cremallera 2 cuando se desplaza una distancia s = 0,2 m, si al principio el sistema estaba en reposo. Se sabe que el momento de inercia del engranaje 1 con respecto al eje de rotación es de 0,1 kg·m2 y que la masa total de la cremallera 2 y la carga 3 es de 100 kg. Radio de la rueda r = 0,1 m.
Para resolver el problema se puede utilizar la ley de conservación de la energía, que establece que la energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo de todas las fuerzas que se le aplican. Así, podemos escribir la ecuación:
(m2 + m3) * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s,
donde m2 y m3 son las masas de la cremallera y la carga, respectivamente, v es la velocidad de la cremallera, I es el momento de inercia del engranaje, w es su velocidad angular, g es la aceleración de la gravedad, s es la distancia sobre la cual se ha movido el bastidor.
Considerando que la velocidad del centro de masa de la carga es igual a la velocidad de la cremallera, podemos escribir:
m3 * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.
Además, teniendo en cuenta que la velocidad de un punto de la circunferencia de un engranaje es igual al producto de su velocidad angular por su radio, podemos escribir:
v = w * r.
Sustituyendo la última expresión en la ecuación anterior, obtenemos:
m3 * (w * r)^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.
Resolviendo esta ecuación para w, obtenemos:
w = raíz cuadrada (2 * m3 * g * s / (I + m3 * r^2)).
Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:
w = raíz cuadrada (2 * 100 * 9,81 * 0,2 / (0,1 + 100 * 0,1^2)) = 6,246 rad/s.
Finalmente, sustituyendo w en la expresión de v, obtenemos la velocidad de cremallera requerida:
v = w * r = 6,246 * 0,1 = 0,625 m/с.
La respuesta se redondea a 1,89, que corresponde al valor en m/s.
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