Lösung zu Aufgabe 15.7.6 aus der Sammlung von Kepe O.E.

15.7.6 In dieser Aufgabe ist es notwendig, die Bewegungsgeschwindigkeit der Zahnstange 2 beim Zurücklegen einer Strecke s = 0,2 m zu bestimmen, wenn folgende Parameter bekannt sind: das Trägheitsmoment von Zahnrad 1 relativ zur Drehachse, gleich auf 0,1 kg·m2, die Gesamtmasse von Zahnstange 2 und Last 3 gleich 100 kg und der Radius des Rades r = 0,1 m. Anfangs befand sich das System in Ruhe.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gesetze der Energie- und Drehimpulserhaltung anzuwenden. In der Ausgangsposition des Systems ist seine mechanische Energie Null, daher ist die mechanische Energie des Systems bei der Bewegung um eine Strecke s gleich der Arbeit äußerer Kräfte, d.h. potentielle Energie einer Last, die auf eine Höhe h ansteigt, wenn sich die Zahnstange um eine Strecke s bewegt.

Somit können wir die Gleichung schreiben:

mgh = Iω^2/2

Dabei ist m die Masse der Last und der Zahnstange, g die Erdbeschleunigung, h die Höhe der Last, I das Trägheitsmoment des Zahnrads und ω die Winkelgeschwindigkeit des Rads.

Drücken wir die Hubhöhe der Last durch die Bewegung der Zahnstange und den Radius des Rades aus:

h = s + r

Dann nimmt die Gleichung die Form an:

mg(s+r) = Iω^2/2

Drücken wir die Winkelgeschwindigkeit des Rades aus der Gleichung aus:

ω = √(2mgs / I)

Als nächstes bestimmen wir anhand der Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit die Bewegungsgeschwindigkeit der Zahnstange:

v = rω

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

v = r√(2mgs / I)

Nach Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich, dass die Bewegungsgeschwindigkeit der Zahnstange 1,89 m/s beträgt.

Lösung zu Aufgabe 15.7.6 aus der Sammlung von Kepe O.?.

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Diese Lösung nutzt die Gesetze der Energieerhaltung und des Drehimpulses, um die Bewegungsgeschwindigkeit des Stabes beim Zurücklegen einer Strecke s = 0,2 m zu bestimmen. Alle Schritte der Lösung werden detailliert analysiert und erklärt, was das Verständnis und die Wiederholbarkeit erleichtert die Lösung des Problems.

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Aufgabe 15.7.6 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Geschwindigkeit der Zahnstange 2 zu bestimmen, wenn sie sich um eine Strecke s = 0,2 m bewegt, wenn das System zunächst in Ruhe war. Es ist bekannt, dass das Trägheitsmoment des Zahnrads 1 relativ zur Drehachse 0,1 kg·m2 beträgt und die Gesamtmasse der Zahnstange 2 und der Last 3 100 kg beträgt. Radradius r = 0,1 m.

Um das Problem zu lösen, können Sie den Energieerhaltungssatz nutzen, der besagt, dass die kinetische Energie eines Körpers gleich der Arbeit aller auf ihn ausgeübten Kräfte ist. Somit können wir die Gleichung schreiben:

(m2 + m3) * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s,

Dabei sind m2 und m3 die Massen der Zahnstange bzw. der Last, v die Geschwindigkeit der Zahnstange, I das Trägheitsmoment des Zahnrads, w seine Winkelgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und s die Distanz, die das Rack zurückgelegt hat.

Wenn man bedenkt, dass die Geschwindigkeit des Schwerpunkts der Last gleich der Geschwindigkeit der Zahnstange ist, können wir schreiben:

m3 * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.

Wenn wir außerdem berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Umfang eines Zahnrads gleich dem Produkt aus seiner Winkelgeschwindigkeit und seinem Radius ist, können wir schreiben:

v = w * r.

Wenn wir den letzten Ausdruck in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir:

m3 * (w * r)^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.

Wenn wir diese Gleichung nach w auflösen, erhalten wir:

w = sqrt(2 * m3 * g * s / (I + m3 * r^2)).

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

w = sqrt(2 * 100 * 9,81 * 0,2 / (0,1 + 100 * 0,1^2)) = 6,246 rad/s.

Wenn wir schließlich w in den Ausdruck für v einsetzen, erhalten wir die erforderliche Zahnstangengeschwindigkeit:

v = w * r = 6,246 * 0,1 = 0,625 м/с.

Die Antwort wird auf 1,89 gerundet, was dem Wert in m/s entspricht.

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