15.7.6 Dans cette tâche, il est nécessaire de déterminer la vitesse de déplacement de la crémaillère 2 lors du parcours d'une distance s = 0,2 m, si les paramètres suivants sont connus : le moment d'inertie de l'engrenage 1 par rapport à l'axe de rotation, égal à 0,1 kg•m2, la masse totale du rack 2 et de la charge 3, égale à 100 kg, et le rayon de la roue r = 0,1 m. Initialement, le système était au repos.
Pour résoudre le problème, il est nécessaire d’utiliser les lois de conservation de l’énergie et du moment cinétique. A la position initiale du système, son énergie mécanique est nulle, donc, lors d'un déplacement sur une distance s, l'énergie mécanique du système sera égale au travail des forces externes, c'est-à-dire énergie potentielle d'une charge qui s'élève à une hauteur h lorsque le rack se déplace sur une distance s.
Ainsi, on peut écrire l'équation :
mgh = Iω^2/2
où m est la masse de la charge et de la crémaillère, g est l'accélération de la gravité, h est la hauteur de la charge, I est le moment d'inertie de la roue dentée, ω est la vitesse angulaire de la roue.
Exprimons la hauteur de levage de la charge à travers le mouvement de la crémaillère et le rayon de la roue :
h = s + r
L’équation prendra alors la forme :
mg(s+r) = Iω^2/2
Exprimons la vitesse angulaire de la roue à partir de l'équation :
ω = √(2mgs / I)
Ensuite, en utilisant la relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire, nous déterminons la vitesse de déplacement de la crémaillère :
v = rω
En remplaçant les valeurs connues, on obtient :
v = r√(2mgs / I)
Après substitution des valeurs numériques, on constate que la vitesse de déplacement de la crémaillère est de 1,89 m/s.
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Cette solution utilise les lois de conservation de l'énergie et du moment cinétique pour déterminer la vitesse de déplacement de la tige lors du parcours d'une distance s = 0,2 m. Toutes les étapes de la solution sont analysées et expliquées en détail, ce qui facilite la compréhension et la répétition. la solution au problème.
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Problème 15.7.6 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer la vitesse du rack 2 lorsqu'il se déplace d'une distance s = 0,2 m, si au début le système était au repos. On sait que le moment d'inertie de l'engrenage 1 par rapport à l'axe de rotation est de 0,1 kg•m2, et que la masse totale de la crémaillère 2 et de la charge 3 est de 100 kg. Rayon de roue r = 0,1 m.
Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la loi de conservation de l'énergie, qui stipule que l'énergie cinétique d'un corps est égale au travail de toutes les forces qui lui sont appliquées. Ainsi, on peut écrire l'équation :
(m2 + m3) * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s,
où m2 et m3 sont respectivement les masses de la crémaillère et de la charge, v est la vitesse de la crémaillère, I est le moment d'inertie de l'engrenage, w est sa vitesse angulaire, g est l'accélération de la gravité, s est la distance sur laquelle le rack s'est déplacé.
En considérant que la vitesse du centre de masse de la charge est égale à la vitesse de la crémaillère, on peut écrire :
m3 * v^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.
Aussi, en tenant compte du fait que la vitesse d'un point sur la circonférence d'un engrenage est égale au produit de sa vitesse angulaire par son rayon, on peut écrire :
v = w * r.
En remplaçant la dernière expression dans l’équation ci-dessus, nous obtenons :
m3 * (w * r)^2/2 = I * w^2/2 + m3 * g * s.
En résolvant cette équation pour w, on obtient :
w = sqrt(2 * m3 * g * s / (I + m3 * r^2)).
En remplaçant les valeurs connues, on obtient :
w = sqrt(2 * 100 * 9,81 * 0,2 / (0,1 + 100 * 0,1^2)) = 6,246 rad/s.
Enfin, en remplaçant w dans l'expression de v, nous obtenons la vitesse de crémaillère requise :
v = w * r = 6,246 * 0,1 = 0,625 m/с.
La réponse est arrondie à 1,89, ce qui correspond à la valeur en m/s.
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