Intensité lumineuse de deux ondes différentes λ 1 et λ

Nous mesurons l'intensité lumineuse de deux ondes différentes λ1 et λ2 dans le liquide à la surface et à la profondeur d. On obtient I01=I02 en surface et Id1=2Id2 à la profondeur d. Il est nécessaire de déterminer la profondeur à laquelle l'intensité lumineuse λ1 dépasse de 10 fois l'intensité lumineuse λ2.

Répondre:

De la loi de Bouguer-Lambert il résulte que l'intensité lumineuse est liée à l'absorption du milieu comme suit : I = I0e^(-alphad), où I0 est l'intensité lumineuse initiale, alpha est le coefficient d'absorption du milieu, d est la profondeur de pénétration lumineuse.

On utilise la relation pour les intensités en surface et en profondeur d : I01/I02 = e^(-alphad), Id1/Id2 = e^(-alpha2d)

Exprimons alphad de la première équation : alphad = ln(I01/I02)

Je remplis l'alphad dans la deuxième équation : Id1/Id2 = e^(-2ln(I01/I02)) = (I01/I02)^(-2)

Exprimons d : d = (1/alpha)*ln(I01/I02)

Trouvons d pour lequel I1/I2 = 10 : I01/I02 * e^(-alphad) / e^(-2alphad) = 10 I01/I02 * e^alphad = 10 * e^2alphad ln(I01/I02) + alphad = ln(10) + 2alpha*d d = (ln(10) - ln(I01/I02)) / alpha

Réponse : d = (ln(10) - ln(I01/I02)) / alpha.

La formule peut être simplifiée en notant que ln(10) = 2,3026. Alors d = 2,3026 / alpha - ln(I01/I02) / alpha.

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Pour résoudre ce problème, il faut utiliser la loi de Bouguer-Lambert, qui stipule que l'intensité de la lumière traversant une certaine épaisseur d'un milieu diminue de façon exponentielle selon la loi :

Je = I0 * exp(-k*d),

où I0 est l'intensité lumineuse initiale, k est le coefficient d'absorption du milieu, d est l'épaisseur du milieu.

On sait également que I01=I02 en surface, et en profondeur d Id1=2Id2, ce qui signifie que le rapport des intensités lumineuses aux différentes profondeurs pour les ondes λ1 et λ2 sera égal à :

I01/I02 = 1,

Id1/Id2 = 2.

Afin de trouver la profondeur à laquelle l’intensité de la lumière de longueur d’onde λ1 dépasse de 10 fois l’intensité de la lumière de longueur d’onde λ2, il est nécessaire de résoudre l’équation suivante :

I01 * exp(-k1d) = 10 * I02 * exp(-k2d),

où k1 et k2 sont les coefficients d'absorption des ondes λ1 et λ2, respectivement.

Exprimons k1 à partir de l'équation :

k1 = (1/d) * ln(I01/(10*I02)),

et à partir de l'équation k2 :

k2 = (1/d) * ln(I02/I01).

Remplaçons les valeurs des coefficients d'absorption dans les équations et résolvons-les par rapport à la profondeur d :

d = (1/(k1-k2)) * ln(I01/(10*I02)).

Ainsi, nous obtenons une formule de calcul pour déterminer la profondeur d à laquelle l'intensité de la lumière de longueur d'onde λ1 dépasse de 10 fois l'intensité de la lumière de longueur d'onde λ2.

Réponse : d = (1/(k1-k2)) * ln(I01/(10*I02)).

En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons une réponse numérique. Une solution détaillée à ce problème est présentée dans l'image ci-dessous :

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