Intensità luminosa di due diverse onde λ 1 e λ

Misuriamo l'intensità della luce di due diverse onde λ1 e λ2 nel liquido in superficie e alla profondità d. Otteniamo I01=I02 in superficie e Id1=2Id2 alla profondità d. È necessario determinare la profondità alla quale l'intensità della luce λ1 supera l'intensità della luce λ2 di 10 volte.

Risposta:

Dalla legge di Bouguer-Lambert segue che l'intensità della luce è legata all'assorbimento del mezzo nel modo seguente: I = I0e^(-alfaD), dove I0 è l'intensità luminosa iniziale, alfa è il coefficiente di assorbimento del mezzo, d è la profondità di penetrazione della luce.

Usiamo la relazione per le intensità in superficie e in profondità d: I01/I02 = e^(-alfad), Id1/Id2 = e^(-alfa2d)

Esprimiamo alfad dalla prima equazione: alfad = ln(I01/I02)

Riempio l'alfad nella seconda equazione: Id1/Id2 = e^(-2ln(I01/I02)) = (I01/I02)^(-2)

Esprimiamo d: d = (1/alfa)*ln(I01/I02)

Troviamo d per cui I1/I2 = 10: I01/I02 * e^(-alfad) / e^(-2alphad) = 10 I01/I02 * e^alfad = 10 * e^2alphad ln(I01/I02) + alfad = ln(10) + 2alfa*d d = (ln(10) - ln(I01/I02)) / alfa

Risposta: d = (ln(10) - ln(I01/I02)) / alfa.

La formula può essere semplificata osservando che ln(10) = 2.3026. Quindi d = 2,3026 / alfa - ln(I01/I02) / alfa.

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Per risolvere questo problema bisogna utilizzare la legge di Bouguer-Lambert, la quale afferma che l'intensità della luce che passa attraverso un certo spessore di un mezzo diminuisce esponenzialmente secondo la legge:

I = I0 * exp(-k*d),

dove I0 è l'intensità luminosa iniziale, k è il coefficiente di assorbimento del mezzo, d è lo spessore del mezzo.

Abbiamo anche dato che I01=I02 in superficie e alla profondità d Id1=2Id2, il che significa che il rapporto tra le intensità luminose a diverse profondità per le onde λ1 e λ2 sarà uguale a:

I01/I02 = 1,

Id1/Id2 = 2.

Per trovare la profondità alla quale l'intensità della luce con lunghezza d'onda λ1 supera l'intensità della luce con lunghezza d'onda λ2 di 10 volte, è necessario risolvere la seguente equazione:

I01 *exp(-k1d) = 10 * I02 * exp(-k2d),

dove k1 e k2 sono i coefficienti di assorbimento rispettivamente delle onde λ1 e λ2.

Esprimiamo k1 dall'equazione:

k1 = (1/d) * ln(I01/(10*I02)),

e dall'equazione k2:

k2 = (1/d) * ln(I02/I01).

Sostituiamo i valori dei coefficienti di assorbimento nelle equazioni e risolviamoli relativi alla profondità d:

d = (1/(k1-k2)) * ln(I01/(10*I02)).

Otteniamo così una formula di calcolo per determinare la profondità d alla quale l'intensità della luce con lunghezza d'onda λ1 supera di 10 volte l'intensità della luce con lunghezza d'onda λ2.

Risposta: d = (1/(k1-k2)) * ln(I01/(10*I02)).

Sostituendo i valori noti, otteniamo una risposta numerica. Una soluzione dettagliata a questo problema è presentata nella figura seguente:

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