IDZ Ryabushko 3.1 Option 12

N° 1 Étant donné quatre points A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Composez les équations : a) plan A1 A2 A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2. Calculer : e) le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

a) Trouver les vecteurs AB1 et AB2 : AB1 = (7-4 ; 10-4 ; 2-10) = (3 ;6 ;-8) AB2 = (2-4 ; 8-4 ; 4-10) = ( - 2;4;-6) Alors le produit vectoriel de AB1 et AB2 donne le vecteur normal au plan : n = AB1 x AB2 = (36;18;18) Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme : 36 (x-4)+18( y-4)+18(z-10)=0

b) Le vecteur directeur de la droite A1A2 est égal à : d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) Le point A1 a pour coordonnées (4;4;10), donc l'équation de la droite A1A2 a la forme : x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) Le vecteur directeur de la droite A4M doit être perpendiculaire au vecteur normal du plan A1A2A3, il doit donc être colinéaire au produit vectoriel de ce vecteur et du vecteur dirigé du point A4 vers un point arbitraire M sur cette droite . Prenons, par exemple, le point M(9;0;0) : AM = (9-9 ; 0-6 ; 0-9) = (0 ;-6 ;-9) d = n x AM = (-54 ;162 ; -54) Le point A4 a les coordonnées (9;6;9), donc l'équation de la droite recherchée A4M a la forme : x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) Le vecteur directeur de la droite A3N doit être colinéaire au vecteur directeur de la droite A1A2, il est donc égal à : d = (3;6;-8) Le point A3 a pour coordonnées (2;8;4), donc l'équation de la droite A3N a la forme : x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) L'équation du plan recherché a la forme : Ax+By+Cz+D=0 Puisque le plan passe par le point A4(9;6;9), ses coordonnées satisfont l'équation du plan : 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 Développons le côté gauche de cette équation dans le produit scalaire du vecteur normal et du vecteur de coordonnées (x-9; y-6; z -9) : 36x-288+18y-108+18z-162 =0 Simplifions : 36x+18y+18z=558 Ainsi, l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 a la forme : 36x+ 18a+18z-558=0

e) Trouver le produit vectoriel des vecteurs A1A4 et A1A2 : n = (26;34;-14) Alors le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est égal au module de la projection du vecteur A1A4 sur le vecteur normal du plan, divisé par le produit des longueurs de ces vecteurs : sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 Ainsi, le sinus de l'angle α entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est égal à : sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) Le cosinus de l'angle entre le plan A1A2A3 et le plan de coordonnées Oxy est égal à la projection du vecteur normal du plan A1A2A3 sur l'axe Ox, divisée par la longueur du vecteur normal : cosα = |n|ₓ / |n| où |n|ₓ est la projection du vecteur normal sur l'axe Ox. Le vecteur normal du plan A1A2A3 est égal à (36;18;18), donc sa projection sur l'axe Ox est 36. La longueur du vecteur normal est √(36²+18²+18²) = 6√13. Ainsi, le cosinus de l'angle α entre le plan A1A2A3 et le plan de coordonnées Oxy est égal à : cosα = 36 / (6√13)

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 12 est un ensemble de tâches en mathématiques, géométrie et algèbre. Les tâches donnent les coordonnées des points et vous obligent à créer des équations de lignes droites et de plans, à calculer les angles entre eux et également à résoudre d'autres problèmes. Dans la tâche n° 1, vous devez créer des équations pour un plan et des lignes droites, ainsi que calculer le sinus et le cosinus des angles. Dans la tâche n°2, vous devez créer une équation d'un plan passant par deux points donnés et perpendiculaire à un plan donné. Dans la tâche n°3, vous devez créer une équation d'une droite passant par l'origine des coordonnées et parallèle à une droite donnée.

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