IDZ Ryabushko 3.1 옵션 12

1번 4개의 점 A1(4;4;10)이 주어졌습니다. A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). 방정식을 구성하십시오. a) 평면 A1 A2 A3; b) 직선형 A1A2; c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M; d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N; e) 직선 A1A2에 수직인 점 A4를 통과하는 평면. 계산: e) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인; g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인.

a) 벡터 AB1과 AB2를 구합니다. AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) 그런 다음 AB1과 AB2의 벡터 곱은 평면에 법선 벡터를 제공합니다. n = AB1 x AB2 = (36;18;18) 따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (x-4)+18( y-4)+18(z-10)=0

b) 직선 A1A2의 방향 벡터는 다음과 같습니다. d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) 점 A1은 좌표 (4;4;10)를 갖습니다. 직선 A1A2의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다: x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) 직선 A4M의 방향 벡터는 평면 A1A2A3의 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 따라서 이 벡터와 점 A4에서 이 직선 위의 임의의 점 M으로 향하는 벡터의 벡터 곱과 동일선상에 있어야 합니다. . 예를 들어 점 M(9;0;0)을 생각해 보십시오. AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) 점 A4에는 좌표 (9;6;9)가 있으므로 원하는 선 A4M의 방정식은 x=9-6t y=6+18t z=9-6t 형식을 갖습니다.

d) 직선 A3N의 방향 벡터는 직선 A1A2의 방향 벡터와 동일선상에 있어야 하므로 다음과 같습니다. d = (3;6;-8) 점 A3에는 좌표 (2;8;4)가 ​​있습니다. 따라서 직선 A3N의 방정식은 다음 형식을 갖습니다. x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) 원하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다: Ax+By+Cz+D=0 평면이 점 A4(9;6;9)를 통과하므로 해당 좌표는 평면의 방정식을 충족합니다. 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 이 방정식의 왼쪽을 법선 벡터와 좌표가 있는 벡터(x-9; y-6; z)의 스칼라 곱으로 확장해 보겠습니다. -9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 단순화하자: 36x+18y+18z=558 따라서 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 18y+18z-558=0

f) 벡터 A1A4와 A1A2의 벡터 곱을 찾습니다. n = (26;34;-14) 그런 다음 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인은 법선 벡터에 대한 벡터 A1A4의 투영 계수와 같습니다. 평면의 벡터 길이의 곱으로 나눈 값: sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 따라서 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도 α의 사인은 다음과 같습니다. sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) 평면 A1A2A3과 좌표 평면 Oxy 사이의 각도의 코사인은 평면 A1A2A3의 법선 벡터를 Ox 축에 투영한 것과 같고 법선 벡터의 길이로 나눈 값입니다. cosα = |n|ₓ / |n| 여기서 |n|ₓ은 법선 벡터를 Ox 축으로 투영한 것입니다. 평면 A1A2A3의 법선 벡터는 (36;18;18)과 같으므로 Ox 축에 대한 투영은 36입니다. 법선 벡터의 길이는 √(36²+18²+18²) = 6√13입니다. 따라서 평면 A1A2A3과 좌표 평면 Oxy 사이의 각도 α의 코사인은 다음과 같습니다. cosα = 36 / (6√13)

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IDZ Ryabushko 3.1 옵션 12는 수학, 기하학 및 대수학 분야의 작업 세트입니다. 이 작업에서는 점의 좌표를 제공하고 직선과 평면의 방정식을 만들고 그 사이의 각도를 계산하며 다른 문제도 해결해야 합니다. 작업 1번에서는 평면과 직선에 대한 방정식을 작성하고 각도의 사인과 코사인을 계산해야 합니다. 작업 2번에서는 주어진 두 점을 통과하고 주어진 평면에 수직인 평면의 방정식을 만들어야 합니다. 작업 번호 3에서는 좌표 원점을 통과하고 주어진 선에 평행한 선의 방정식을 만들어야 합니다.

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