IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 12

No. 1 4 つの点 A1(4;4;10) が与えられます。 A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。方程式を作成します。 a) 平面 A1 A2 A3。 b) ストレート A1A2。 c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M。 ｄ）直線Ａ１Ａ２に平行な直線Ａ３Ｎ。 e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面。 e) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算します。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) ベクトル AB1 と AB2 を見つけます: AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) 次に、AB1 と AB2 のベクトル積は、平面の法線ベクトルを与えます: n = AB1 x AB2 = (36;18;18) したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次の形式になります。 (x-4)+18(y-4)+18(z-10)=0

b) 直線 A1A2 の方向ベクトルは次のとおりです: d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) 点 A1 の座標は (4;4;10) です。直線 A1A2 の方程式は次の形式になります: x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) 直線 A4M の方向ベクトルは、平面 A1A2A3 の法線ベクトルに垂直でなければなりません。したがって、このベクトルと、点 A4 からこの直線上の任意の点 M に向かうベクトルとのベクトル積と同一線上になければなりません。 。たとえば、点 M(9;0;0) を考えます。 AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) 点 A4 の座標は (9;6;9) であるため、目的の直線 A4M の方程式は次の形式になります: x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) 直線 A3N の方向ベクトルは直線 A1A2 の方向ベクトルと同一線上にある必要があるため、次と等しくなります。 d = (3;6;-8) 点 A3 の座標は (2;8;4)、したがって、直線 A3N の方程式は次の形式になります: x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) 目的の平面の方程式は、次の形式になります。 Ax+By+Cz+D=0 平面は点 A4(9;6;9) を通過するため、その座標は次の平面の方程式を満たします。 36(x- 9)+18(y-6)+18(z-9)=0 この方程式の左辺を、法線ベクトルと座標 (x-9; y-6; z) を持つベクトルのスカラー積に拡張してみましょう。 -9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 単純化しましょう: 36x+18y+18z=558 したがって、点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式は次の形式になります。 18y+18z-558=0

f) ベクトル A1A4 と A1A2 のベクトル積を求めます: n = (26;34;-14) この場合、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は、法線ベクトルへのベクトル A1A4 の射影の係数に等しくなります。平面の長さをこれらのベクトルの長さの積で割った値: sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 したがって、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度 α の正弦は次と等しくなります。 sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) 平面 A1A2A3 と座標平面 Oxy の間の角度の余弦は、平面 A1A2A3 の法線ベクトルを Ox 軸に投影し、法線ベクトルの長さで割ったものに等しくなります。 cosα = |n|ₓ / |n|ここで、 |n|ₓ は、法線ベクトルの Ox 軸への投影です。平面 A1A2A3 の法線ベクトルは (36;18;18) に等しいため、Ox 軸への射影は 36 です。法線ベクトルの長さは √(36²+18²+18²) = 6√13 です。したがって、平面 A1A2A3 と座標平面 Oxy の間の角度 α の余弦は、cosα = 36 / (6√13) に等しくなります。

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