IDZ Ryabushko 3.1 Opção 12

Não 1 Dados quatro pontos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Elabore as equações: a) plano A1 A2 A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2. Calcule: e) o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Encontre os vetores AB1 e AB2: AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) Então o produto vetorial de AB1 e AB2 dá o vetor normal ao plano: n = AB1 x AB2 = (36;18;18) Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma: 36 (x-4)+18( y-4)+18(z-10)=0

b) O vetor direção da reta A1A2 é igual a: d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) O ponto A1 possui coordenadas (4;4;10), então a equação da reta A1A2 tem a forma: x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) O vetor diretor da reta A4M deve ser perpendicular ao vetor normal do plano A1A2A3, portanto, deve ser colinear ao produto vetorial deste vetor e o vetor direcionado do ponto A4 a um ponto arbitrário M nesta reta. . Tomemos, por exemplo, o ponto M(9;0;0): AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) O ponto A4 possui coordenadas (9;6;9), portanto a equação da reta desejada A4M tem a forma: x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) O vetor direção da reta A3N deve ser colinear ao vetor direção da reta A1A2, portanto, é igual a: d = (3;6;-8) O ponto A3 possui coordenadas (2;8;4), então a equação da reta A3N tem a forma: x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) A equação do plano desejado tem a forma: Ax+By+Cz+D=0 Como o plano passa pelo ponto A4(9;6;9), suas coordenadas satisfazem a equação do plano: 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 Vamos expandir o lado esquerdo desta equação no produto escalar do vetor normal e do vetor com coordenadas (x-9; y-6; z -9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 Vamos simplificar: 36x+18y+18z=558 Assim, a equação do plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 tem a forma: 36x+ 18y+18z-558=0

f) Encontre o produto vetorial dos vetores A1A4 e A1A2: n = (26;34;-14) Então o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 é igual ao módulo da projeção do vetor A1A4 no vetor normal do plano, dividido pelo produto dos comprimentos desses vetores: sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 Assim, o seno do ângulo α entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3 é igual a: sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) O cosseno do ângulo entre o plano A1A2A3 e o plano coordenado Oxy é igual à projeção do vetor normal do plano A1A2A3 no eixo Ox, dividido pelo comprimento do vetor normal: cosα = |n|ₓ / |n| onde |n|ₓ é a projeção do vetor normal no eixo do Boi. O vetor normal do plano A1A2A3 é igual a (36;18;18), então sua projeção no eixo do Boi é 36. O comprimento do vetor normal é √(36²+18²+18²) = 6√13. Assim, o cosseno do ângulo α entre o plano A1A2A3 e o plano coordenado Oxy é igual a: cosα = 36 / (6√13)

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