IDZ Ryabushko 3.1 选项 12

No. 1 给定四个点 A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。建立方程： a) 平面 A1 A2 A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点 A4 且垂直于直线 A1A2 的平面。计算： e) 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦。

a) 求向量AB1和AB2： AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) 然后 AB1 和 AB2 的向量积给出平面的法向量： n = AB1 x AB2 = (36;18;18) 因此，平面 A1A2A3 的方程的形式为： 36 (x-4)+18(y-4)+18(z-10)=0

b) 直线 A1A2 的方向向量等于： d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) 点 A1 的坐标为 (4;4;10)，所以直线 A1A2 的方程为： x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) 直线 A4M 的方向向量必须垂直于平面 A1A2A3 的法向量，因此，它必须与该向量与从 A4 点指向该直线上任意点 M 的向量的向量积共线。以点 M(9;0;0) 为例： AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) 点 A4 的坐标为 (9;6;9)，因此所需直线 A4M 的方程为： x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) 直线 A3N 的方向向量必须与直线 A1A2 的方向向量共线，因此，它等于： d = (3;6;-8) 点 A3 的坐标为 (2;8;4)，因此直线 A3N 的方程为： x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) 所需平面的方程为： Ax+By+Cz+D=0 由于该平面经过点 A4(9;6;9)，其坐标满足平面方程： 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 让我们将该方程的左侧展开为法向量与坐标为 (x-9; y-6; z) 的向量的标量积-9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 让我们简化一下： 36x+18y+18z=558 因此，经过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面方程的形式为： 36x+ 18y+18z-558=0

e) 求向量 A1A4 和 A1A2 的向量积： n = (26;34;-14) 则直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角的正弦等于向量 A1A4 在法向量上的投影的模平面的面积，除以这些向量的长度的乘积：sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 因此，直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度 α 的正弦等于： sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) 平面 A1A2A3 与坐标平面 Oxy 夹角的余弦等于平面 A1A2A3 法向量在 Ox 轴上的投影除以法向量长度： cosα = |n|ₓ / |n|其中 |n|ₓ 是法线向量在 Ox 轴上的投影。平面 A1A2A3 的法向量等于 (36;18;18)，因此其在 Ox 轴上的投影为 36。法向量的长度为 √(36²+18²+18²) = 6√13。因此，平面 A1A2A3 与坐标平面 Oxy 之间的夹角 α 的余弦等于： cosα = 36 / (6√13)

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