IDZ Ryabushko 3.1 Option 12

Nr. 1 Gegeben sind vier Punkte A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Stellen Sie die Gleichungen auf: a) Ebene A1 A2 A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht. Berechnen Sie: e) den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

a) Finden Sie die Vektoren AB1 und AB2: AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) Dann ergibt das Vektorprodukt von AB1 und AB2 den Normalenvektor zur Ebene: n = AB1 x AB2 = (36;18;18) Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form: 36 (x-4)+18( y-4)+18(z-10)=0

b) Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 ist gleich: d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) Punkt A1 hat die Koordinaten (4;4;10), also Die Gleichung der Geraden A1A2 hat die Form: x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) Der Richtungsvektor der Geraden A4M muss senkrecht zum Normalenvektor der Ebene A1A2A3 stehen, also muss er kollinear zum Vektorprodukt dieses Vektors und des Vektors sein, der vom Punkt A4 zu einem beliebigen Punkt M auf dieser Geraden gerichtet ist . Nehmen Sie zum Beispiel Punkt M(9;0;0): AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) Punkt A4 hat die Koordinaten (9;6;9), daher hat die Gleichung der gewünschten Linie A4M die Form: x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) Der Richtungsvektor der Geraden A3N muss kollinear zum Richtungsvektor der Geraden A1A2 sein, daher ist er gleich: d = (3;6;-8) Punkt A3 hat die Koordinaten (2;8;4), Die Gleichung der Geraden A3N hat also die Form: x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) Die Gleichung der gewünschten Ebene hat die Form: Ax+By+Cz+D=0 Da die Ebene durch den Punkt A4(9;6;9) verläuft, erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung der Ebene: 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 Erweitern wir die linke Seite dieser Gleichung in das Skalarprodukt des Normalenvektors und des Vektors mit den Koordinaten (x-9; y-6; z -9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 Vereinfachen wir: 36x+18y+18z=558 Somit hat die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft, die Form: 36x+ 18J+18Z-558=0

e) Finden Sie das Vektorprodukt der Vektoren A1A4 und A1A2: n = (26;34;-14) Dann ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich dem Modul der Projektion des Vektors A1A4 auf den Normalenvektor der Ebene, dividiert durch das Produkt der Längen dieser Vektoren: sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |n| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 Somit ist der Sinus des Winkels α zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich: sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) Der Kosinus des Winkels zwischen der Ebene A1A2A3 und der Koordinatenebene Oxy ist gleich der Projektion des Normalenvektors der Ebene A1A2A3 auf die Ox-Achse, geteilt durch die Länge des Normalenvektors: cosα = |n|ₓ / |n| wobei |n|ₓ die Projektion des Normalenvektors auf die Ox-Achse ist. Der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 ist gleich (36;18;18), daher beträgt seine Projektion auf die Ox-Achse 36. Die Länge des Normalenvektors beträgt √(36²+18²+18²) = 6√13. Somit ist der Kosinus des Winkels α zwischen der Ebene A1A2A3 und der Koordinatenebene Oxy gleich: cosα = 36 / (6√13)

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 12 ist eine Reihe von Aufgaben in Mathematik, Geometrie und Algebra. Die Aufgaben geben die Koordinaten von Punkten an und erfordern, dass Sie Gleichungen von Geraden und Ebenen erstellen, die Winkel zwischen ihnen berechnen und auch andere Probleme lösen. In Aufgabe Nr. 1 müssen Sie Gleichungen für eine Ebene und Geraden erstellen sowie Sinus und Cosinus von Winkeln berechnen. In Aufgabe Nr. 2 müssen Sie eine Gleichung einer Ebene erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft und senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht. In Aufgabe Nr. 3 müssen Sie eine Gleichung einer Linie erstellen, die durch den Koordinatenursprung und parallel zu einer bestimmten Linie verläuft.

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